2024-2024备战中考数学提高题专题复习平行四边形练习题附详细答案
一、平行四边形
1．在四边形ABCD中，?B??D?180?，对角线AC平分?BAD.
（1）如图1，若?DAB?120?，且?B?90?，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
（2）如图2，若将（1）中的条件“?B?90?”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）如图3，若?DAB?90?，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
【答案】（1）AC?AD?AB.证明见解析；（2）成立；（3）AD?AB?见解析. 【解析】
试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=
2AC.理由
11AC，AB=AC即可解决问题； 22（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；
（3）结论：AD+AB＝2AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题； 试题解析：解：（1）AC=AD+AB． 理由如下：如图1中，
在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°，
11AC，同理AD＝AC． 22∴AC=AD+AB．
∴AB＝
（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，
∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE，∵CA=CE， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AD+AB．
（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，
∴DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°． ∴AC=CE．
又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，
∴△CDA≌△CBE， ∴AD=BE， ∴AD+AB=AE．
在Rt△ACE中，∠CAB=45°， ∴AE＝
AC＝2AC cos45?∴AD?AB＝2AC.
2．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E．
（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为 ．（请直接填结论）
（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．
①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．
③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为 ．（请直接填结论）
【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF﹣AF=2OE， 【解析】
试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论； （2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证； ②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，
根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证； ③同②的方法可证．
试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线， ∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°， ∵OE⊥AB，
1AB， 2∴AB=2OE，
∴OE=
（2）①AF+BF=2OE
证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H
∴∠BHE=∠BHO=90° ∵OE⊥MN，BF⊥MN ∴∠BFE=∠OEF=90° ∴四边形EFBH为矩形 ∴BF=EH，EF=BH ∵四边形ABCD为正方形 ∴OA=OB，∠AOB=90°
∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90° ∴∠AOE=∠OBH ∴△AEO≌△OHB（AAS） ∴AE=OH，OE=BH
∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE． ②AF﹣BF=2OE
证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H
∴∠EHB=90° ∵OE⊥MN，BF⊥MN ∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90° ∴四边形HBFE为矩形 ∴BF=HE，EF=BH ∵四边形ABCD是正方形 ∴OA=OB，∠AOB=90° ∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH ∴∠AOE=∠OBH ∴△AOE≌△OBH（AAS） ∴AE=OH，OE=BH， ∴AF﹣BF
=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE ③BF﹣AF=2OE，
如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，
∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°， ∴∠AOE+∠AOG=90°．
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠AOG+∠BOG=90°， ∴∠AOE=∠BOG． ∵OG⊥BF，OE⊥AE，
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