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2017年全国卷3理科数学试题及答案解析

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绝密★启用前2017

年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷3

理科数学

注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

)x?(x,y│1.已知集合A=

2?y2?1?,B=

)y?x??(x,y│,则A

C.1

B中元素的个数为

D.0

A.3 B.2 2.设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=

1A.2

2B.2

C.2

D.2

3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 A.-80

B.-40

C.40

D.80

x2y2x2y25?2?1??1y?x22,且与椭圆123b5.已知双曲线C:a (a>0,b>0)的一条渐近线方程为有公共焦点,则C

的方程为

x2y2??1810A. x2y2??145B. x2y2??154C. x2y2??143D.

?6.设函数f(x)=cos(x+3),则下列结论错误的是

A.f(x)的一个周期为?2π

8?B.y=f(x)的图像关于直线x=3对称

??C.f(x+π)的一个零点为x=6 D.f(x)在(2,π)单调递减

7.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为

A.5 B.4 C.3 D.2

8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A.π

3πB.4

πC.2

πD.4

9.等差数列A.-24

?an?的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则?an?前6项的和为

B.-3

C.3

D.8

x2y2?2?12b10.已知椭圆C:a,(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx?ay?2ab?0相切,则C的离心率为

6A.3

3B.3

2C.3

1D.3

2x?1?x?1f(x)?x?2x?a(e?e)有唯一零点,则a= 11.已知函数

1A.2

?

1B.3

1C.2

D.1

12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=? AB+?AD,则?+?的最大值为 A.3

B.22

C.5

D.2

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

?x?y?0??x?y?2?0?y?0yx13.若,满足约束条件?,则z?3x?4y的最小值为__________.

14.设等比数列

?an?满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3,则a4 = ___________.

?x?1,x?0,1f(x)??xf(x)?f(x?)?12,x?0,?215.设函数则满足的x的取值范围是_________。

16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以

直线AC为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角; ②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角; ③直线AB与a所称角的最小值为45°; ④直线AB与a所称角的最小值为60°; 其中正确的是________。(填写所有正确结论的编号)

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。

17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2. (1)求c;

(2)设D为BC边上一点,且AD? AC,求△ABD的面积.

18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

最高气温 天数 [10,15) 2 [15,20) 16 [20,25) 36 [25,30) 25 [30,35) 7 [35,40) 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?

19.(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.

(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值. 20.(12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.

21.(12分)已知函数f(x) =x﹣1﹣alnx. (1)若f(x)?0 ,求a的值;

111(1+)(1+2)(1+n)222﹤m,求m的最小值. (2)设m为整数,且对于任意正整数n,

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

?x??2?m,??x?2+t,(m为参数)m??y?,?y?kt,k在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为?(t为参数),直线l2的参数方程为?.设

l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│. (1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空,求m的取值范围.

2017年全国卷3理科数学试题及答案解析

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考
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