绝密★启用前2017
年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷3
理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)x?(x,y│1．已知集合A=
2?y2?1?，B=
)y?x??(x,y│，则A
C．1
B中元素的个数为
D．0
A．3 B．2 2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
1A．2
2B．2
C．2
D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 A．-80
B．-40
C．40
D．80
x2y2x2y25?2?1??1y?x22,且与椭圆123b5．已知双曲线C：a (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为有公共焦点，则C
的方程为
x2y2??1810A． x2y2??145B． x2y2??154C． x2y2??143D．
?6．设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为?2π
8?B．y=f(x)的图像关于直线x=3对称
??C．f(x+π)的一个零点为x=6 D．f(x)在(2,π)单调递减
7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为
A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．π
3πB．4
πC．2
πD．4
9．等差数列A．-24
?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则?an?前6项的和为
B．-3
C．3
D．8
x2y2?2?12b10．已知椭圆C：a，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为
6A．3
3B．3
2C．3
1D．3
2x?1?x?1f(x)?x?2x?a(e?e)有唯一零点，则a= 11．已知函数
1A．2
?
1B．3
1C．2
D．1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=? AB+?AD，则?+?的最大值为 A．3
B．22
C．5
D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?y?0??x?y?2?0?y?0yx13．若，满足约束条件?，则z?3x?4y的最小值为__________．
14．设等比数列
?an?满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
?x?1，x?0，1f(x)??xf(x)?f(x?)?12，x?0，?215．设函数则满足的x的取值范围是_________。
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以
直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所称角的最小值为45°； ④直线AB与a所称角的最小值为60°； 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27,b=2． （1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD? AC,求△ABD的面积．
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 天数 [10，15） 2 [15，20） 16 [20，25） 36 [25，30） 25 [30，35） 7 [35，40） 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值． 20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
21．（12分）已知函数f(x) =x﹣1﹣alnx． （1）若f(x)?0 ，求a的值；
111(1+)(1+2)(1+n)222﹤m，求m的最小值． （2）设m为整数，且对于任意正整数n，
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
?x??2?m,??x?2+t,（m为参数）m??y?,?y?kt,k在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?（t为参数），直线l2的参数方程为?．设
l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│． （1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围．
2017年全国卷3理科数学试题及答案解析
