相似三角形综合培优题型
基础知识点梳理：
知识点1 有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
(2)若是两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念
（1）若是选用同一单位量得两条线段a,b的长度别离为m,n，那么就说这两条线段的比是成a:b?m:n．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段a,b,c,d中，若是a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，若是说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：?am?，或写bnbcd．②aaca、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、d叫比例在比例式?(a：b?c：d)中，bd后项，d叫第四比例项，若是b=c，即 a：b?b：d那么b叫做a、d的比例中项， 现在有b?ad。
2知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 大体性质：
①a:b?c:d?ad?bc；②a:b?b:c?b2?a?c．
注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad?bc，除
了可化为a:b?c:d，还可化为a:c?b:d，c:d?a:b，b:d?a:c，b:a?d:c，c:a?d:b，d:c?b:a，d:b?c:a．
?ab(交换内项)?c?d，?ac?dc（2） 更比性质(互换比例的内项或外项)：????， (交换外项)bdba??db(同时交换内外项)?c?a．?（3）反比性质(把比的前项、后项互换)：
acbd???． bdac
知识点4 比例线段的有关定理
1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应DE线段成比例.
AADAEBDECADAE由DE∥BC可得： ?或?或?DBECADEAABACBC
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. A 已知AD∥BE∥CF,
B
可得
DEFABDEABDEBCEFBCEFABBC等. ?或?或?或?或?BCEFACDFABDEACDFDEEFC知识点5 相似三角形的概念
①对应性：即两个三角形相似时，必然要把表示对应极点的字母写在对应位置上，如此写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不必然一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理
(1)相似三角形的等价关系：①反身性：关于任一?ABC有?ABC∽?ABC．
②对称性：若?ABC∽?A'B'C'，则?A'B'C'∽?ABC．
③传递性：若?ABC∽?A'B'C?，且?A'B'C?∽?A??B??C??，则?ABC∽?A??B??C?? (2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所组成的三角形与原三角形相似．
定理的大体图形： ADE A
A
CBE D
C ECBDB(1)(2)(3)
用数学语言表述是：?DE//BC， ∴ ?ADE∽?ABC． 知识点7 三角形相似的判定方式
一、概念法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似． 二、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所组成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：若是一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：若是一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，而且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
五、判定定理3：若是一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
六、判定直角三角形相似的方式：
(1)以上各类判定均适用．(2)若是一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．：
A射影定理：在中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。 知识点8 相似三角形常见的图形
一、相似三角形的大体图形：
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）
(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”）
B2E1DC2BAA4D1E1DC2ABCE2
2
2
BDC（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影
A定理型”）”“三垂直型”） AED2EBA1
BEDCBEC(D)ACDCB(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。 二、几种大体图形的具体应用：
（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC
（2）射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
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则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=AD·AB，CD=AD·BD，BC=BD·AB；
相似三角形培优
