专题28 利用导数研究函数的极值
一、例题选讲
题型一、求函数的极值点
讨论或者证明函数极值点或者极值点的个数问题,转化为导函数为0的根的个数。求函数的极值点通过研究函数的单调性来解决。
例1、(2024苏北四市期末)已知函数f(x)＝x2＋ax＋1,g(x)＝lnx－a(a∈R)．
(1) 当 a＝1时,求函数h(x)＝f(x)－g(x)的极值；
规范解答 (1) 函数h(x)的定义域为(0,＋∞)． 当a＝1时,h(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋x－lnx＋2, 1（2x－1）（x＋1）
所以h′(x)＝2x＋1－＝.(2分)
xx1
令h′(x)＝0得x＝(x＝－1舍),
2
当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表：
x h′(x) h(x) ?0，1? ?2?－ 1 20 极小值 ?1，＋∞? ?2?＋ 111
所以当x＝时,函数h(x)取得极小值＋ln2,无极大值．(4分)
24
例2、(2024南京、盐城、连云港二模)已知函数f(x)＝x(ex－2),g(x)＝x－lnx＋k,k∈R,e为自然对数的底数．记函数F(x)＝f(x)＋g(x)．
(1) 求函数y＝f(x)＋2x的极小值；
规范解答 (1) y＝f(x)＋2x＝xex,由y′＝(1＋ x)ex＝0,解得x＝－1. 列表如下：
x y′ y (－∞,－1) － ∈ －1 0 极小值 (－1,＋∞) ＋ ∈ 1
所以当x＝－1时,函数y取得极小值－ .(2分)
e
1
例3、(2016苏北四市期末)已知函数f(x)＝exx3－2x2＋(a＋4)x－2a－4,其中a∈R,e为自然对数的底数．
3
(1) 若函数f(x)的图像在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直,求a的值； 4
(2) 关于x的不等式f(x)<－ex在(－∞,2)上恒成立,求a的取值范围；
3(3) 讨论函数f(x)极值点的个数．
1
思路分析 第(2)小题中的恒成立可以考虑将实数a与x分离,将问题转化求函数g(x)＝－(x－2)2(x∈(－
3∞,2))的最值问题,也可以考虑关于x不等式在x∈(－∞,2)恒成立,注意到x＝2是方程x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＝0的一个根,从而将原不等式因式分解并从区间根的角度入手求实数a的取值范围；第(3)小题关键是将11
所求的问题转化成讨论函数g(x)＝x3－x2＋ax－a的单调性与极值问题,另一种思路是由f′(x)＝exx3－x2＋
33x3－3x2x3－3x2
ax－a＝0得a＝(x≠1),将问题转化成函数y＝a和y＝(x≠1)的图像交点个数问题．
3?1－x?3?1－x?
132
x－x＋ax－a?,(2分) 规范解答 (1) 由题意,f′(x)＝ex?3??因为f(x)的图像在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直, 所以f′(0)＝1,解得a＝－1. (4分)
414
(2) 解法1 由f(x)<－ex,得exx3－2x2＋(a＋4)x－2a－4<－ex,
333即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8<0对任意x∈(－∞,2)恒成立, (6分) 即(6－3x)a>x3－6x2＋12x－8对任意x∈(－∞,2)恒成立,
x3－6x2＋12x－81
因为x<2,所以a>＝－(x－2)2,(8分)
3－3?x－2?
1
记g(x)＝－(x－2)2,因为g(x)在(－∞,2)上单调递增,且g(2)＝0,所以g(x)max＝0.
3所以a≥0,即a的取值范围是[0,＋∞). (10分)
414
解法2 由f(x)<－ex,得exx3－2x2＋(a＋4)x－2a－4<－ex,
333即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8<0在(－∞,2)上恒成立, (6分) 因为x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8<0等价于(x－2)(x2－4x＋3a＋4)<0, ∈当a≥0时,x2－4x＋3a＋4＝(x－2)2＋3a>0恒成立, 所以原不等式在(－∞,2)上恒成立,满足题意．(8分) ∈当a<0时,记g(x)＝x2－4x＋3a＋4,有g(2)＝3a<0,
所以方程x2－4x＋3a＋4＝0必有两个根x1,x2,且x1<2 所以a<0不符合题意． 综合∈∈可知,所求a的取值范围是[0,＋∞). (10分) 1 (3) 解法1 由题意可得f′(x)＝exx3－x2＋ax－a,所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点. (11分) 31 令g(x)＝x3－x2＋ax－a, 3 ∈若f(x)有且只有一个极值点,所以函数g(x)的图像必穿过x轴且只穿过一次, 即g(x)为单调递增函数或者g(x)极值同号． (∈) 当g(x)为单调递增函数时,g′(x)＝x2－2x＋a≥0在R上恒成立, 所以Δ＝(－2)2－4a≤0,得a≥1. (12分) (∈) 当g(x)极值同号时,设x1,x2为极值点,则g(x1)·g(x2)≥0, 2 由g′(x)＝x2－2x＋a＝0有解,得Δ＝(－2)2－4a>0,所以a<1,且x21－2x1＋a＝0,x2－2x2＋a＝0, 2即x21＝2x1－a,x2＝2x2－a, 所以x1＋x2＝2,x1x2＝a,
专题28 利用导数研究函数的极值(解析版)
