设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为( )
12
A. 58C. 5
24B. 2526D. 5
3
解析：选B.因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连
533?3?4，?，续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B?所以D(X)＝4××1－?5?5?5?24
＝. 25
2．某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X～N(100，a2)(a＞0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的分)之间的人数约为( )
A．400 C．600
B．500 D．800
1
，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和11010
114
解析：选A.P(X＜90)＝P(X＞110)＝，P(90≤X≤110)＝1－×2＝，P(100≤X≤110)
1010522
＝，1 000×＝400.故选A. 55
3．(2017·高考浙江卷)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若01
＜p1＜p2＜，则( )
2
A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
1
解析：选A.根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1，2，因为0 0，?上单调递增，所以f(p1) 4．已知随机变量ξ的分布列为 ξ P －1 1 20 1 61 1 3 那么ξ的数学期望E(ξ)＝________，设η＝2ξ＋1，则η的数学期望E(η)＝________． 解析：由离散型随机变量的期望公式及性质可得， 1111 E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－， 2636 12 －?＋1＝. E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×??6?312 答案：－ 63 5．有10张火车票，其中3张是卧铺，其他是硬座，从这10张火车票中任取两张，用ξ表示取到卧铺的张数，则E(ξ)等于________． 2－xCx3C7 解析：ξ服从超几何分布P(ξ＝x)＝2(x＝0，1，2)． C10 1 C2217C1217C23177C33所以P(ξ＝0)＝2＝＝，P(ξ＝1)＝2＝＝，P(ξ＝2)＝2＝＝. C104515C104515C104515 77193 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝. 1515151553 答案： 5 6．袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值． 解：(1)X的分布列为 X P 0 1 21 1 202 1 103 3 204 1 511131E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. 22010205 11131 D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝ 220102052.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b， 所以当a＝2时， 由1＝2×1.5＋b，得b＝－2. 当a＝－2时， 由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ??a＝2，所以? ?b＝－2???a＝－2，或? ??b＝4. 7．(2018·合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择． 4 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖， 5则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元． 2 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元． 5(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列； (2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解：(1)X的可能取值为0，500，1 000. 14117 P(X＝0)＝＋××＝， 552525412 P(X＝500)＝×＝， 5254148 P(X＝1 000)＝××＝， 52525 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为 X P 0 7 25500 2 51 000 8 2528 (2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1 000×＝520， 5252 若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B(3，)， 526 则E(ξ)＝3×＝， 55 抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480， 故选择方案甲较划算． 1．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望． (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 解：(1)设顾客所获的奖励额为X. 1 C111C3①依题意，得P(X＝60)＝2＝， C42 1 即顾客所获的奖励额为60元的概率为. 2②依题意，得X的所有可能取值为20，60. C2113P(X＝20)＝2＝，P(X＝60)＝， C422即X的分布列为 X P 20 1 260 1 211所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×＋60×＝40(元)． 22 (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1 P 20 1 660 2 3100 1 6121X1的期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60， 636 1211 600 X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝. 6363 对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2 P 40 1 660 2 380 1 6121X2的期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60， 636 121400 X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝. 6363 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2. 2．(2017·高考全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)． (1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (i)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
2019届高考一轮复习北师大版理 10.8离散型随机变量的均值与方差、正态分布 学案
