染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．
(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；
(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．
解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA，此种情况的概率C3115为3×1＝，第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只C6C36C2115含有病毒，此种情况的概率为3×1＝.
C6C36
111
所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为＋＝.
663
(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.
1
P(η＝10)＝，
6511
P(η＝18)＝×＝，
6565411
P(η＝24)＝××＝，
654654311
P(η＝30)＝×××＝，
6543654321
P(η＝36)＝×××＝，
65433则化验费η的分布列为
η P 10 1 618 1 624 1 630 1 636 1 31111177所以E(η)＝10×＋18×＋24×＋30×＋36×＝(元)．
666633
均值与方差的实际应用
[典例引领]
(2018·广西三市第一次联考)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从
6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2
道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘2
者乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响．
3
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
【解】 (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.
210C11C23C314C24C24C2P(ξ＝1)＝3＝；P(ξ＝2)＝3＝；P(ξ＝3)＝3＝.
C65C65C65
应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为
ξ P 131E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
555
1 1 52 3 53 1 5设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0，1，2，3. P(η＝0)＝C03P(η＝2)＝C23
2??1?6?1?＝1；P(η＝1)＝C1?＝3
?3?27?3??3?27；
3
1
2
?2??1?＝12；P(η＝3)＝C3?2?＝8.
3
?3??3?27?3?27
23
应聘者乙正确完成题数η的分布列为
η P 0 1 271 6 272 12 273 8 27161282E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.(或因为η～B(3，)，
2727272732
所以E(η)＝3×＝2)
3
1312
(2)因为D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，
5555212
D(η)＝3××＝.
333所以D(ξ)＜D(η)．
综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定；
从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．
均值与方差的实际应用
(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用描述X的分散程度．
(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
(2018·长沙市统一模拟考试)张老师开车上班，有路线①与路线②两条路
线可供选择．
12
路线①：沿途有A，B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，，
23若A处遇红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处遇红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为20分钟．
32
路线②：沿途有a，b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，，45若a处遇红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为15分钟．
(1)若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；
(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？并说明理由． 解：(1)走路线①，20分钟能到校意味着张老师在A，B两处均遇到绿灯，记该事件发121生的概率为P，则P＝×＝.
233
(2)设选择路线①的延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0，2，3，5. 121121
则P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＝，
233233111111
P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝5)＝×＝.
236236
D（X）来
ξ的数学期望E(ξ)＝0×3＋2×3＋3×6＋5×6＝2.
设选择路线②的延误时间为随机变量η，则η的所有可能取值为0，8，5，13.
1111
326122
则P(η＝0)＝×＝，P(η＝8)＝×＝，
45204520339133
P(η＝5)＝×＝，P(η＝13)＝×＝.
45204520
η的数学期望E(η)＝0×20＋8×20＋5×20＋13×20＝5.
因此选择路线①平均所花时间为20＋2＝22分钟，选择路线②平均所花时间为15＋5＝20分钟．
所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②.
正态分布
[典例引领]
(1)(2018·长春质检)已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X＞2)＝0.15，
则P(0≤X≤1)＝( )
A．0.85 C．0.35
B．0.70 D．0.15
6293
(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%)
A．4.56% C．27.18%
B．13.59% D．31.74%
【解析】 (1)P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X＞2)＝0.35.
(2)由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P(－6＜ξ＜6)≈0.954 5，故P(3＜ξP（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）0.954 5－0.682 7
＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，故选B.
22
【答案】 (1)C (2)B
正态分布下的概率计算常见的两类问题
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比
联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
[通关练习]
1．若X～N(5，1)，则P(3＜X＜4)＝( ) A．0.954 5 C．0.341 4 解析：选D.依题意得
1111
P(3＜X＜4)＝P(3＜X＜7)－P(4＜X＜6)＝×0.954 5－×0.682 7＝0.135 9.
2222
2．(2018·福建省毕业班质量检测)若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，则P(2 解析：因为随机变量X～N(μ，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝μ对称．又P(X>5)＝P(X<5－1 －1)＝0.2，所以μ＝＝2，所以P(2 2 答案：0.3 随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系 随机变量的均值、方差是常数，它们不依赖于样本的抽取，而样本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化． 期望与方差的一般计算步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算． 若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态 曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1的性质． 易错防范 (1)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定．随机变量X是可变的，可取不同的值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态． (2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位． (3)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的． B．0.477 3 D．0.135 9 1．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，
2019届高考一轮复习北师大版理 10.8离散型随机变量的均值与方差、正态分布 学案
