（ 1）抛物线——二次曲线
抛物线
C.
D.
2 【例 1】P为抛物线 上任一F为焦点，则以 PF为直径的圆与 y ）
点， 轴（ 相离 位置由 P 确定
相交 相切 p
，准线 解析】如图，抛物线的焦点为
是
. 作 PH⊥ 于 H，交 y 轴于 Q，，
那么 且 .作MN⊥y轴于 N则MN是梯形
PQOF的 y B. 1轴相切，选1
. 故中位
以 线，
PF为直径的圆与 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交 的 . （ 2 ）焦点弦——常考常新的亮点弦
y 2px
A.B.
F ,0
2
l:x l PH
QH OF
PF p
MN
2 1 2
PH OF PQ
2
PF
2
有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关 . 理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试 2题是大有帮助的 【例 2】 过抛物线 的焦点 F 作直线交抛物线于
11 22 两点，求
证： ) 1 212
）
，作 证明】（1）如图设抛物线的
p
准线为 x， 11 1
1 11
px 1 2 2.两式相加即
得：
1 2 AB⊥ x
轴时，有 2)
y 2px p 0
A x,y,B x, y
AB x x p
1
AF l
12 BF
AA
l A,BBBF BB
l于 B，则 AF AA
2
AB xxp
AB k2
∵方 程
1
AF BF p
AF
p
与x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方程为：
，
1 成pBF 立；
2
x
p
. 代入抛物线方
程：
22kx
2
2px. 化简2 2
得： 1之二根） 为
x1， x2，
x
k 2
k2
2
2
p k2 0 4
2
∴
x1
2
4 1
x
x
1
x
2
2
x
AF BF AA1 BB1
x
1 2
x1x2 2 x1
p
2
p2
x
1 1 2
p2
2xpp2 1 421 2 故不论弦 AB与 x 轴是否垂
4
xxp
x
2
x
x
x2 p
1
AF
1 BF
2 成
p
立 .
直，恒有
3）切线——抛物线与函数
例 3】证明：过抛物线 y2
2px 上一点 M（x0， y0）的切线方程是： y0y=p（ x+x0）
【证明】对方程 y2
2 px两边取导数： 2y y 2p， y p
.切线的斜率
y
p
p
2
k y
x x0
.由点斜式方程： y y0
x x0 y0y px px0 y0
0
y0
y0
2
Q y0 2 px0，代入（）1 即得： y 0y=p（ x+x0
）
（ 4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏 例如：1.一动圆的圆心在
抛物线 y2
8x 上，且动圆恒与直线 x （） 2 0 相切 ，则 此动圆A. 4,0 B. 2,0 C. 0,2 D. 0, 2
显然. 本题是例 1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选 B.
2. 抛物线 y2
2px 的通径长为 2p；
3. 设抛物线 y2
2 px过焦点的弦两端分别为 A x1,y1 ,B x2,y2 ，那么：
2
以下再举一例
y1y2 p
【例 4】设抛物线 y2
2 px的焦点弦 AB在其准线上的射影是 A1B1，证明：以 A1B1为直径的圆必过一定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 A1B1=AB=2p，而 A1B1 与 AB的距离为 p，可知该圆必过抛物线的
焦点. 由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点 . 以下我们对 AB的一般情形给于证明 .
【证明】如图设焦点两端分别为 A x1,y1 ,B x2, y2 ， 那么： y1y2
p2
CA1 CB1 y1 y2 p2
.
设抛物线的准线交 x 轴于 C，那么 CF p.
2
A1FB1中 CF 2 CA1 CB1 .故 A1FB1 90 . 这就说明：以
A1B1 为直径的圆必过该抛物线的焦点 .
? 通法 特法 妙法
（ 1）解析法——为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）
例 5】（07. 四川文科卷 .10 题）已知抛物线
y=-x 2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相
异两点 A、B，则 |AB|等于（ ） A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 【分析】直线 AB 必与直线 x+y=0 垂直，且线段 AB 的中点
必在直线 x+y=0 上，因得解法如下 . 【解
∵点 A、B 关于直线 x+y=0 对∴设直线 AB 的方 析】 称， 程1
由
y
x m
22
y
2
2
x x m 3 0 x 3
设方程
1）之两根为 x1， x2
，则 x1 1. （设 AB 的中点x
1 x
1 . 代入 1
为
M（ x0，y0），则 2
y0= . 故有
2 2 x+y=0 ：
2
必过定 点M
1,1 22
y2 1. 直线 AB的方程从而 m y x x1 .方程（ 1）成x x 2 0.解得：
为： 为： --y 1,2 ，故得： Ax 2,1 ，从而 B（1，2）. AB 32 ，选 C.
2， 1）（
（2）几何法——为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展， 但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算， 这又使得许多考生对解析几何习 题望而生畏 . 针对这种现状，人们研究出多种使计算量
2
大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法 . 【例 6】（07.全国 1卷.11题）抛物线 y 4x的焦点为 F，准线为 l，经过 F且斜率为 3的直线与抛物线在 x轴
高中数学抛物线经典例题
