第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
课后篇巩固提升
基础巩固
1.方程(2x-3)2+(y+2)2=0表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两条直线 C.一个点
D.两个点
解析由已知得{2??-3=0,??+2=0,解得{??=3
??=2,
-2,
所以方程表示一个点(3
2,-2).
答案C
2.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是( A.x2+y2=3 B.x2+2xy=1(x≠±1)
C.y=√1-??2
D.x2+y2=9(x≠0)
解析设P(x,y),因为kPA+kPB=-1,
所以??-0
??-0
??-(-1)+??-1=-1, 整理得x2+2xy=1(x≠±1). 答案B
3.方程x-1=√1-(??-1)2表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆
D.半个圆
解析∵方程x-1=√1-(??-1)2等价于(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1),
∴表示的曲线是半个圆.故选D.
答案D
4.“点M在曲线y2=4x上”是点M的坐标满足方程y=-2√??的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
)
解析点M在曲线y2=4x上,其坐标不一定满足方程y=-2√??,但当点M的坐标满足方程y=-2√??时,则点M一定在曲线y2=4x上. 答案B
5.在直角坐标系中,方程|x|y=1的曲线是( )
解析由|x|y=1知y>0,曲线全部位于x轴上方,故选C. 答案C
6.已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m= ,a= . 2=????2,
解析由题意知{
??-2=0,
解得a=2,m=2. 答案2 2
7.已知定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 .
解析设P(x,y),由|PA|=2|PB|得√(??+2)2+??2=2√(??-1)2+??2,
整理得x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4.
故点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=πr2=4π. 答案4π
8.已知动点M(x,y)到直线l:3x+4y+1=0的距离等于1,则动点M的轨迹方程为 . 解析由题意知|3??+4??+1|√32+421
1
=1,
∴3x+4y+1=±5.
∴点M的轨迹方程为3x+4y+6=0和3x+4y-4=0.
答案3x+4y+6=0和3x+4y-4=0
9.如图,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得|PM|=√2|PN|,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.
解以O1O2的中点为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
得O1(-2,0),O2(2,0). 连接PO1,O1M,PO2,O2N. 由已知|PM|=√2|PN|,得 |PM|2=2|PN|2,
又在Rt△PO1M中,|PM|2=|????1|2?|????1|2, 在Rt△PO2N中,|PN|2=|????2|2?|????2|2, 即得|????1|2-1=2(|????2|2-1).
设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1], 化简得(x-6)2+y2=33.
因此所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33. 10.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0. (1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;
(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称? 解(1)因为点(1,-1)在曲线C上,
所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4. (2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.
以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称; 以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0, 所以曲线C不关于x轴对称;
同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.
能力提升
1.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( ) A.
π3
B.π
53
C.或
π35π 3
D.或 12
π3
53
π3π6
解析将点P坐标代入曲线方程,得(cos α-2)2+sin 2α=3,cos α=.又因为0≤α<2π,所以α=或α=π. 答案C
2.设方程f(x,y)=0的解集非空,若命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下面命题中正确的是( )
A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上