考点14 基本不等式及其应用（1）
【知识框图】
【自主热身,归纳总结】
1、（2019年苏州学情调研）若正实数x，y满足x?y?1,则?4的最小值是 ▲ ．
yyx【参考答案】、8
【解析】、因为正实数x，y满足x?y?1, 所以
y4xy4xy4y4?(x?y)y4x,即y?2x,又??????4?2??4?4?4?8,当且仅当?xyxyxyxyxyx?y?1,即x?12y,y?,等号成立,即?4取得最小值8.
xy3323
2、(2018苏锡常镇调研（一）） 已知a>0, b>0,且a＋b＝ab,则ab的最小值是________． 【参考答案】 26
【解析】、思路分析 利用基本不等式,化和的形式为积的形式．
23
因为ab＝a＋b≥2
1?31?
3、(2017苏北四市期末）. 若实数x,y满足xy＋3x＝3?0＜x＜2?,则x＋的最小值为________．
??y－3【参考答案】. 8
1?3?
【解析】、解法1 因为实数x,y满足xy＋3x＝3?0＜x＜2?,所以y＝x－3(y＞3),
??
3111
所以x＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2
y－3y－3y－3
y－3
1
·＋6＝8,当且仅当y－3＝y－3
2323·,所以ab≥26,当且仅当aba＝b＝6时,取等号．
1331
,即y＝4时取等号,此时x＝7,所以x＋的最小值为8. y－3y－3
1?33?
解法2 因为实数x,y满足xy＋3x＝3?0＜x＜2?,所以y＝x－3(y＞3),y－3＝x－6＞0,
??
313131所以x＋＝x＋3＝x－6＋3＋6≥2
y－3
x－6x－631?3?1
?x－6?·＋6＝8,当且仅当－6＝,
x3??3
x－6x－6
331
即x＝7时取等号,此时y＝4,所以x＋的最小值为8.
y－3
解后反思 从消元的角度看,可以利用等式xy＋3x＝3消“实数x”或消“实数y”,无论用哪种消元方式,消元后的式子结构特征明显,利用基本不等式的条件成熟．
4、(2015苏北四市期末） 已知a,b为正数,且直线 ax＋by－6＝0与直线 2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行,则2a＋3b的最小值为________． 【参考答案】25
2
【解析】、由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行,所以a(b－3)＝2b,即a＋3ba?23??ba??a＋b?＝13＋6?a＋b?≥13＋6×＝1(a,b均为正数),所以2a＋3b＝(2a＋3b)2
ba×b＝25(当且仅当????ba
a＝b即a＝b＝5时取等号)．
sinα
5、(2017南京、盐城、徐州二模） 已知α,β均为锐角,且cos(α＋β)＝sinβ,则tanα的最大值是________． 2
【参考答案】4
【解析】、思路分析 注意研究目标,故先要将cos(α＋β)应用两角和的余弦公式展开,然后利用同角三角函数式将tanα表示为β的函数形式,利用求函数的最值方法可得到结果．
1?sinαsinα?
sinβ＋由cos(α＋β)＝sinβ得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinβ,即cosαcosβ＝sinα?,由α,β均为锐sinβ???sinαcosβsinβcosβtanβ112
角得cosα≠0,tanβ>0,所以tanα＝cosα＝＝＝＝≤＝11224,sin2β＋12tan2β＋1
sinβ＋sinβ2tanβ＋tanβ12
当且仅当2tanβ＝tanβ,即tanβ＝2时,等号成立．
解后反思 根据所求的目标,将所求的目标转化为相关的变量的函数,是研究最值问题的基本方法．
6、(2016宿迁一模） 若a2－ab＋b2＝1,a,b是实数,则a＋b的最大值是________． 【参考答案】2
2
【解析】、解法1 因为a－ab＋b＝1,即(a＋b)－3ab＝1,从而3ab＝(a＋b)－1≤(a＋b)2≤4,所以－2≤a＋b≤2,所以(a＋b)max＝2.
2222
3
a＋b
4
2
,即
解法2 令u＝a＋b,与a2－ab＋b2＝1联立消去b得3a2－3au＋u2－1＝0,由于此方程有解,从而有Δ＝9u2－12(u2－1)≥0,即u2≤4,所以－2≤u≤2,所以(a＋b)max＝2.
解法3 由于a2－ab＋b2＝1与代数式a＋b是对称的,根据对称极端性原理,当a＝b时取得最值,此时a2＝1,从而a＝±1,所以(a＋b)max＝2a＝2.
a2＋2b27、(2017苏北四市一模） 已知a,b为正实数,且a＋b＝2,则a＋的最小值为________．
b＋122
【参考答案】2＋3
【解析】、思路分析 令b＋1＝c,通过换元,使得“别扭”变“顺眼”,本题就变得比较常规了． a2＋2b22设b＋1＝c,则b＝c－1,a＋c＝3,且0 b＋1 c－1c 2 2 ＝a＋c＋a 12111?a2c?22?21?＋c－2＝1＋a＋c＝1＋3(a＋c)?a＋c?＝2＋3?c＋a?≥2＋3,当且仅当a＝2c,即c＝3(2－1) ????∈(1,3)时,取等号． 8、(2019苏州三市、苏北四市二调） 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a,b,c∈R)的解集为c2＋5 {x|3 a＋b【参考答案】 45 c2＋5 思路分析 先根据一元二次不等式的解集,确定a<0,以及a,b,c的关系,再将所求运用消元法, a＋b统一成单变量a的函数问题,运用基本不等式求最值． b－a＝7?b＝－7a??? 依题意得a<0,且3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根,即?则? cc＝12a??＝12?a?c2＋5144a2＋5144a2＋5?5?所以＝＝＝(－24a)＋?－6a?≥2 a＋ba－7a－6a??5 144a2＝5,即a＝－12时取等号,所以所求最小值为45. 3 ?5??－6a?＝45,当且仅当（－24a）·?? 9、(2015扬州期末）设实数x,y满足x2＋2xy－1＝0,则x2＋y2的最小值是________． 【参考答案】 5－12 思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,从而求它的最小值．注意中消去y较易,所以消去y. 1－x2?1－x2?25x211222 ?＝＋2－≥2解法1 由x＋2xy－1＝0得y＝2x,从而x＋y＝x＋? 44x2?2x? 2 51 16－2＝ 415－1 2,当且仅当x＝±5时等号成立． 思路分析2 由所求的结论x2＋y2想到将条件应用基本不等式,构造出x2＋y2,然后将x2＋y2求解出来． 解法2 由x2＋2xy－1＝0得1－x2＝2xy≤mx2＋ny2,其中mn＝1(m,n>0),所以(m＋1)x2＋ny2≥1,令m＋1＝n,与mn＝1联立解得m＝ 5－15＋15－1122 ,n＝,从而x＋y≥＝222. 5＋1 2 【问题探究,变式训练】 题型一、利用基本不等式求最值问题 知识点拨：利用基本不等式求最值的问题,关键是对复杂的代数式进行合理的代数变形,配凑出使用基本不等式的条件,再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正,二定,三相等”这． 三个条件缺一不可！ 2a2?12b2?4?例1、(2019苏锡常镇调研）已知正实数a,b满足a＋b＝1,则的最小值为 ． ab【参考答案】、.11. 【解析】、思路分析：由于目标式比较复杂,不能直接求最小值,需要对该式子进行变形,配凑出 使用基本不等式的条件,转化为熟悉的问题,然后利用基本不等式求解． 2a2?12b2?41414b4ab4a??2a??2b??2(a?b)?(?)(a?b)???7?2??7?11当且ababababab 4 1?a??2a2?12b2?4b4a3?仅当?,即?时取“?”,所以的最小值为11. 2abab?b?3?y1x 【变式1】、(2019常州期末）已知正数x,y满足x＋x＝1,则x＋y的最小值为________． 【参考答案】、4 思路分析 多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数【解析】、知识求解． y1x1x111解法1(直接消元) 由x＋＝1得y＝x－x2,故＋＝＋＝＋＝ xxyxx－x2x1－xx（1－x）≥ 111x ＝4,当且仅当x＝1－x,即x＝时取“＝”．故＋y的最小值为4. 22x?x＋1－x? ??2?? yy1x11解法2(直接消元) 由x＋x＝1得x＝1－x,故x＋y＝x＋,以下同解法1. 1－x 1－x＋x1－x＋x1－x1x11 解法3(消元,分离常数凑定值) 同解法1,2得x＋y＝x＋＝＋＝2＋ xx＋1－x1－x1－xxx11x ≥4,当且仅当＝,即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4. x2xy1－x1－x y?y1x?1x??yx2yx2 解法4(“1”的代换) 因为x＋x＝1,所以x＋y＝?x＋y??x＋x?＝2＋x2＋y≥4,当且仅当x2＝y,????1 ??x＝21??y＝4 1x 时取“＝”．故x＋y的最小值为4. 即? 14 【变式2】、(2019镇江期末）已知x＞0,y＞0,x＋y＝x＋y,则x＋y的最小值为________． 【参考答案】、3 【解析】、思路分析 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解． 1222（1＋2）2解法1 因为x>0,y>0,所以x＋y＝x＋y≥,得x＋y≥3,当且仅当x＝1,y＝2时取等号． x＋y解法2 x＋y＝（x＋y）2＝即x＝1,y＝2时取等号． ?14?（x＋y）?x＋y?＝ ?? y4xy4x 5＋x＋y≥5＋24＝3,当且仅当x＝y, 5
考点14 基本不等式及其应用(1)(解析版).doc
