毕业论文开题报告
数学与应用数学
浅谈导数在解决实际问题中的应用
一、选题的背景与意义
15世纪文艺复兴以后的欧洲,资本主义逐渐发展,采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观测等大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题.其中有两类问题导致了导数概念的产生:一是求变速运动的瞬时速度;二是求曲线上一点处的切线.
这两类问题都有归结为变量变化的快慢程度,即变化率问题.牛顿从第一个问题出发,莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念1) 求变速运动的瞬时速度
通常人们所说的物体的运动速度,是指物体在一段时间内的平均速度.例如:一汽车从甲地出发到达乙地,全程120千米,行驶4小时,则汽车行驶的平均速度是30千米/小时.事实上,汽车并不是每时每刻都以30千米/小时的速度行驶,这是因为,下坡时会跑得快些,上坡时会跑得慢些,也可能中途停车,等等,即 汽车每时每刻的速度是变化的.一般来说平均速度不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度.随着科学技术的发展,我们仅仅知道物体运动的平均速度是不够的,还要知道物体在某一时刻的瞬时速度.例如:研究子弹头的穿透能力必须知道弹头接触目标的瞬时速度. 2) 求曲线上一点处的切线斜率
斜率
?1?3?.
f?x0??x??f?x0??yk?lim?lim?x?x?x?0?x?0
导数是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.
导数在实际应用方面有重要意义，物理学、经济学、几何学等学科中的一些重要
概念都可以用导数来表示.譬如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀直加为例，位移关于时间的一阶导数是速度，二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性.
二、研究的基本内容和拟解决的主要问题
本文的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来得到并了解导数的
概念和定义,并且通过导数解决一些实际应用问题．本论文首先引出一些关于导数的概念．以下是有关概念：
定义1?4? 设函数y?f?x?在点x0的某邻域内有定义，若极限
limx?x0f?x??f?x0? (1)
x?x0'存在，则称函数f在点x0处的导数，记作f?x0?.
令x?x0??x,?y?f?x0??x??f?x0?,则(1)式可改写为
f?x0??x??f?x0??y??f'?x0? (2) limlim?x?x?0?xVx?0所以,导数是函数增量?y与自变量增量?x之比自变量的平均变化率(又称差商),而导数f'?y的极限.这个增量比称为函数关于?xf在x0处关于x的变化率.若
?x0?则为
(1)(或(2)式极限不存在,则称f在点x0处不可导.
定义2?4? 设函数y?f?x?在点x0的某右邻域?x0,x0???上有定义，若右极限
f?x0??x??f?x0??y ?0??x??? ?limlim??x??x?x?0?x?0'存在,则称该极限值为f在点x0的右导数,记作f??x0?.右导数和左导数统称为单侧
导数.
若函数在区间I上每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称f为I上的可导函数.此时对每一个x?I,都有f的一个导数f'?x?(或单侧导数)与之
对应.这样就定义了一个在I上的函数,称为f在I上的导函数,也简称为导数.记作
f',y'或
dy,即 dxf?x??x??f?x?,x?I.
?x'f'?x??lim?x?0 在物理学中导数y也常用牛顿记号目前我们把
y表示,而记号
gdy是莱布尼茨首先引用的.dxdyd看作为一个整体,也可以把它理解为施加于y的求导运算,待到学dxdx过“微分”之后,我们将说明这个记号实际上是一个“商”.相应于上述各种表示导数的形式,f'?x0?有时也写作
y'或dyx?x0dx.
x?x0定义3?4? 若函数f在点x0的某邻域U?x0?内对一切x?U?x0?有
f?x0??f?x?,?f?x0??f?x??,
则称函数f在点x0取得极大(小)值,称点x0为极大(小)值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.
利用导数求函数极(最)值这类问题的方法是:(1)用求导法求出函数导数.(2)令导数等于0,得出驻点及其不可导点.(3)用这些点把区间分成几个部分,然后讨论函数的单调性.(4)求出极值点.(5)求出区间端点值与极值进行比较,得到最值
?5?.
通过导数的定义，我们将利用导数的思想把导数应用到实际问题中. 首先我们先叙述一下导数在物理学中的应用
?6?7?.
数理不分家,导数在物理中有着广泛的应用.从实际问题抽象出数学模型后,抛弃物理背景,用导数方法处理,既可减少物理思维难度,又能开辟数学的应用天地.我们可以利用导数求速度和加速度,求感应电动势,求瞬间电流,对连接体进行速度的分解等等.
解决非匀变速直线运动的物体的瞬时速度及瞬时加速度的问题,就只能利用导数处理.如果物体按s?s?t?的规律作直线运动,则物体在时刻t0的瞬时速度v0?s?t0?,
'也叫位移s在时刻t0对时间t的变化率：在时刻t0的瞬时加速度a0?v?t0?．
'例如:物体做直线运动,位移对时间的变化规律为s?6t?5t,求物体运动的加速
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浅谈导数在解决实际问题中的应用[开题报告]
