第七章 刚体力学（3）
学习内容：§7.4 刚体定轴转动的动能定理 §7.5 刚体平面运动的动力学
所做的工作：1.学习刚体定轴转动的另一个重要定理：动能定理
2.讨论刚体运动的平面运动的基本动力学方程和能量方程，最后主要研究两种主要特例，即刚体三维平动和滚动。
§7.4 刚体定轴转动的动能定理
我们已经学习了刚体定轴转动的转动定理和角动量定理。今天我们学习刚体定轴转动的另一个重要定理――动能定理。它也是质点系动能定理对刚体定轴转动的具体应用。为此，我们先来学习力矩的功。
（一）、力矩的功
如图所示，力F的作用点P沿半径为r的圆周经过弧长ΔS.相应的角位移为ΔQ，由变力沿曲线作功的公式有：
?? A??F?dr
?
????F??? dr?ds?, F?Fnn? rd?? 与ds相对应的角坐标的微分
A??F?ds??rF?d??S0??
?其中F?r－F对y轴的力矩?y，故有，
A???rd?，
0???????y?r?F?,r?F?
由此可见，当刚体转动是，力所作的功等于该力转轴的力矩对角坐标的积分。由于此时功在形式上用力矩和角位移表达，故又叫作力矩的功，但本质上都是力做的功。 讨论：
（1）?y?恒量，有力矩的功为A??y???d???0y??而恒力拒做的功等于力矩与角位移的乘积（2）令dA=?yd????力矩?y的功vvdAd?则有：P=??y??y?y,(p?FgV)dtdt而力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。?y?恒量，有力矩的功为A??y???d???0y??而恒力矩做的功等于力矩与角位移的乘积 令dA=?yd????力矩?y的功vvdAd???y??y?y,(p?FgV)dtdt而力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。则有：P=（二）、刚体定轴转动的动能定理 把质点系的动能定理
?A＋?A＝?E－?E外内KK0应用于刚体的定轴转动，而得刚体定轴转动的
动能定理。
如图所示，刚体内任一质点（第i个质点）
质量：mi速度：vi?EKi?1mivi2 2?EKi?i1mivi2?2i11(?miri2)?2?Iy?222刚体定轴转动的动能为：Qvi??ri,(ri为mi到转轴的垂直距离)
??EKi?i类似112简证?Ek?Iy??（mv2）
22
由此可见，刚体绕固定轴转动时，其动能等于刚体对此轴转动惯量与角速度平方乘积之半。
而作用在转动刚体上一切外力矩做功的代数和为
?????A外＝???外yd??0?????外y? ??0?至于内力的功：
Qdrij?0,??A?0112故有：A＝I???外2y2Iy?02
v注意：对定轴转动，Iy为恒量，改变的只是?的大小
于是上式为刚体定轴转动的动能定理，它表明此时转动动能的增量等于刚体所受外力矩（外力）做功的代数和。
〔例1〕P213
如图所示，已知
均质圆柱体，质量为mi，半径为R重锤质量，m2阻力不计，绳不可伸长解：用两种方法求解（1）用质量和刚体的动能定理求解m2g－T=m2a,(匀加速直线运动)1m2gh?Th=m2v2……?1?2v力T的功为：TR?1故有：TR?＝Iy?221?Iy＝m1R2,R??h,v?R?211Th?m1R2?2?m1v2……<2>44联系<1>和<2>式，消去T，即将
v?2m2gh m1?2m2
（2）、利用质点系动能定理求解
此时，T为内力，对圆柱体做正功，对下端物体做负功，因为绳子不可伸长，质点系内力做功之和为零。则有，
?A＝mgh外211m2v2?I?2?02211?m2gh?m2v2?I?222
1?I?m1R2,v?R?211m2gh?m1v2?m2v242m2gh?v?2m1?2m2??EK??EK0?
（三）、刚体的重力势能
如图所示，当刚体_-_____高度时，由重力作用而具有的势能——刚体的重力势能，它是刚体和地球共有的，应等于各质点的重力势能之和。
对质点mi有Epi?mighi?migyiEp??Epi??migyi?mgii?myiimm?Ep?mgyc(yc为刚体重心距势能零点即地面的高度)讨论：刚体的重力势能与yc有关，与刚体的系统无关，也就是说刚体的重力势能相当于在刚体重心处的一个质点的重力势能，且该质点集中了刚体的全部质量。
其中，?myii＝yc,(g为恒矢量)
第七章刚体学(3)
