2020高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集

合的概念与运算学案

板块一 知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1 集合与元素

1．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

2．元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示．

3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

4．常见数集的记法

集合 符号 自然数集 N 正整数集 N(或N＋*整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R ) 考点2 集合间的基本关系

表示 关系 相等 子集 真子集 空集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素相同 符号语言 A?B且B?A?A＝B A?B或B?A AB或BA ??A?B(B≠?) A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 考点3 集合的基本运算

[必会结论]

1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－

1，非空真子集的个数为2n－2. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.

3．A∩(?UA)＝?；A∪(?UA)＝U；?U(?UA)＝A.

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)集合{x|y＝}与集合{y|y＝}是同一个集合．( )

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(2)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A?B，则实数m＝1 或m＝.( )(3)M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝?，则ρ所满足的条件是

ρ≥1.( )

(4)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中有4个元

素．( )

(5)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．( )

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B

＝( B．{x|－2＜x＜3} A．{x|－2＜x＜－1} D．{x|1＜x＜3}

C．{x|－1＜x＜1}

答案 A

解析 ∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，

∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.

3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0

B．(0,3]

A．[－1,4]

D．[－1,0]∪(1,4]

C．(－1,0]∪(1,4]

答案 A

解析 A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．选A.

4．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )

B．A∪B＝R A．A∩B＝{x|x<0} D．A∩B＝?

C．A∪B＝{x|x>1}

答案 A

解析 ∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．

又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．

故选A.

5．[2018·重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则

A∩(?RB)的真子集的个数为( B．3 A．1 D．7

C．4

)

)

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答案 B

解析 因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1

B.

板块二 典例探究·考向突破 考向 集合的基本概念

例1 (1)[2017·郑州模拟]已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}，

则集合B中元素的个数为( )

B．3 D．7

A．1 C．5 答案 C

解析 由题意知A＝{－1,0,1}，当p＝－1，q＝－1，0,1时，p－q＝0，－1，－2；当p＝0，q＝－1,0,1时，p－q＝1,0，－1；当p＝1，q＝－1,0,1时，p－q＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个，选

C.

(2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，

则a＝________. 答案 －1

解析 由A∩B＝{－3}知，－3∈B.

又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.

①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，

－3}．故a＝0舍去．

②当a－2＝－3时，a＝－1，

此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，

满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.

触类旁通

解决集合概念问题的一般思路

(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表

元素为实数p－q.

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(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代

入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．

【变式训练1】 (1)[2018·昆明模拟]若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N*}，B＝

∈N*，y∈N*，则A∩B中元素的个数为________．

答案 3

解析 解不等式x2－9x<0可得0

A∩B＝B，A∩B中元素的个数为3.

(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

答案 －2

解析 因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3， 所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，

此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意．

所以m＝－.

考向 集合间的基本关系

3

例 2 已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B?A，则实数m的

取值范围是________． 答案 (－∞，－1]

解析 由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是(－∞，－1]．

本例中的B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，其余不变，

该如何求解？

解 当B＝?时，有m＋1>2m－1，则m<2.

当

??m＋1≤2m－1，

B≠?时，或?

??m＋1>7，

解得m>6.综上可知m的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)．

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本例中的A改为A＝{x|－3≤x≤7}，B改为B＝{x|m＋

1≤x≤2m－1}，又该如何求解？

解 当B＝?时，满足B?A，此时有m＋1>2m－1，即m<2；当B≠?时，要使B?A，

则有解得2≤m≤4.

综上可知m的取值范围是(－∞，4]．

触类旁通

根据两集合的关系求参数的方法

(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否

则会造成漏解．

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的 关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

【变式训练2】 设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．

(1)若a＝，试判定集合A与B的关系； (2)若BA，求实数a组成的集合C.

解 (1)由x2－8x＋15＝0， 得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}．

若a＝，由ax－1＝0，得x－1＝0，即x＝5.

∴B＝{5}．∴BA.

(2)∵A＝{3,5}，又BA，

故若B＝?，则方程ax－1＝0无解，有a＝0；

若B≠?，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝.

∴＝3或＝5，即a＝或a＝.

故C＝.

考向 集合的基本运算

命题角度1 集合的交集及运算

例 3 [2017·山东高考]设集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N＝

( )

B．(－1,2) D．(1,2)

A．(－1,1) C．(0,2)