二面角大小的几种求法
二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
I. 寻找有棱二面角的平面角的方法 ( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 )
一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。
例 空间三条射线CA、CP、CB，∠PCA=∠PCB=60o，∠ACB=90o，求二面角B-PC-A的大小。
解：过PC上的点D分别作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连EF.
∴∠EDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a，∵∠PCA=∠PCB=600， ∴CE=CF=2a，DE=DF=3a，又∵∠ACB=900，∴EF=22a，
3a2?3a2?8a21? ∴∠EDF=
32?3a2α C F B D
E A P
1. 在三棱锥P-ABC中，?APB=?BPC=?CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。
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P Q N B A M C 2. 如图，已知二面角α-а-β等于120°，PA⊥α，A∈α，PB⊥β，B∈β，求∠APB的大小。
3. 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。
HPP A O B
BAjDC二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。
解：如图，PA⊥平面BD，过A作AH⊥BC于H，连结PH，则PH⊥BC 又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角。 在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=；
a在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=?2，则∠PHA=arctan2.
a2ADLpa2BHC5. 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。
BHALpP CD6. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，AC=BC=1，2 / 11
K MB C A B N ∠ACB=900，M是PB的中点。(1)求证：BC⊥PC，(2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。
7. ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小。
8. 如图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，AM⊥SB于M，AN⊥SC于N,(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求证∠ANM是二面角A－SC－B的平面角.
S
N
P B D A M C M A
C
B 9. 第8题的变式：如上图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，∠ACB＝600，SA＝AC＝a，(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求二面角A－SC－BC的正弦值.
10. 如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体，侧棱AA1长为1，底面为正方体且边长为2，E是棱BC的
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D1
C1
二面角大小的几种求法归类总结分析
