探究鱼的质量估计的方法及应用
摘 要
此研究课题旨在探究按照测量鱼的长度估计鱼的质量的方法，在已知8组鱼的身长、质量、胸围数据的情况下，我们应用机理分析的基本数学建模方法建立了三类合理模型，并应用最小二乘拟合法进行模型参数估计，最后用误差分析法对估计的准确程度进行检验，进而对三类模型的精确度进行评价校正并选出鱼的身长和胸围对其质量影响描绘最准确的模型二的加权系数法模型作为最终推荐模型。
以下是我们建立的描绘鱼的身长与胸围对其质量的影响的三类模型：
模型一：分别研究身长和胸围对质量的影响。在此我们建立了三种身长对质量以及胸围对质量影响的关系分别为一次函数、二次函数和三次函数，如上述方法分别对模型进行参数估计，误差分析，估计准确度检验。将三种函数的误差进行比较再寻找出对质量影响描绘最准确的函数；
模型二：研究身长和胸围共同对质量的影响。在此我们采用了两种方法研究二者对质量产生的共同影响：其一，利用加权系数法在模型一已得函数中加权重衍生出一种新函数关系；其二，建立质量=f(身长,胸围)模型，数形结合建立三维空间基本曲线进行描绘。分别进行参数估计，误差分析，准确度评价；
模型三：根据几何的相关知识，将鲈鱼化为两个圆锥体底部对接的几何体，建立体积对质量影响的模型，进行参数估计，误差分析，准确度评价。
关键词：最小二乘法 加权平均法 方差 准确率对比测评
长度一、分别作用 二、共同作用 胸围三、体积作用 估计鱼的质量 生物学进化论 流体力学 检验，比较， 评价，校正 应用价值
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问题重述
垂钓俱乐部鼓励垂钓者放生，奖励是按照鱼的质量分配的，由于要保持鲈鱼的生命活性同时保证测量准确公平，直接称重显然不合理不可行，于是只提供了一把软尺用于测量，题中要求应用机理分析建立模型，用给出的8组数据确定参数，设计较为准确合理的方法来用长度估计鱼的质量。
1． 问题分析
本课题旨在根据几组已知身长、质量、胸围数据以及生物学原理设计按照测量的长
度估计鱼的质量的方法，但是在垂钓者眼里鱼是有肥瘦之分，即使长度相同，也不能同等看待，为公平起见，我们必须将胸围这一影响因素加入讨论中。根据生物学原理，在一定范围内，质量一定与身长或胸围成正相关关系，我们不妨假设这种关系为一次函数、二次函数或三次函数关系，有已知数据我们可以由最小二乘法进行参数估计。进一步分析身长和胸围共同对质量的影响可以考虑两种方法，一种是将身长和胸围对质量的影响关系用加权系数法表现出，还可假设一种二元函数求参数进行估计。考虑到身长和胸围对质量的影响皆是影响到了鱼的体积，可进一步分析鱼的体积对质量的影响。
2． 模型假设与符号说明
3.1 模型假设 1)
2) 3) 4) 5)
池塘里的鱼体型都是鲈鱼，每条鱼被钓上的几率是相等的； 鱼的胸围指鱼身的最大周长； 鱼肉的质量均匀，密度相等；
不区别鱼的雌雄且鱼的肥瘦均匀；
鱼的横截面相似且为圆，体型近似为两个圆锥体底部对接。
3.2 符号说明
符号 x1 x2 y V R
说明 鱼的身长 鱼的胸围 鱼的质量 鱼的体积
鱼的最大周长所对应半径
单位 cm cm g cm3 cm
同时将题中所给的统计数据由左向右依次标号，鱼的身长依次为：x11,x12…x18，鱼的质量依次为：y1,y2…y8，鱼的胸围依次为：x21,x22…x28。
3． 模型建立
模型一 机理分析法分别探究身长和胸围对鱼质量的影响 4.1.1 一次函数模型
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假设鱼质量和身长以及鱼质量和胸围的关系都为一次函数关系，具体记为：
y=a1x1+b1 y=a2x2+b2
其中：a1，b1，a2，b2都是参数。
参数可以用题中所给的统计数据应用最小二乘法拟合得到，具体操作如下： 求a1,b1,a2,b2使目标函数满足条件,目标函数为：
min∑[y(xk)-yk]2 (n=1,2…8)
其中y(xk)是鱼质量的估计值。
通过matlab对模型的参数进行参数估计，求解模型得：
a1=65.3 b1=-1637.3 a2=92
b2=-1497.5
程序详见附表1。
身长与质量的关系——一次函数1400130012001100100090080070060050040030323436384042444640020222426283032800100014001600胸围与质量的关系——一次函数1200600
4.1.2 二次函数模型
假设鱼质量和身长以及鱼质量和胸围的关系都为二次函数关系，具体记为：
y=a1x12+b1x2+c1 y=a2x22+b2x2+c2
其中：a1,b1,c1,a2,b2,c2都是参数。 参数估计方法同一次函数模型。
通过matlab对模型的参数进行参数估计，可得：
a1=1.6247 b1=-59.3124 c1=709.7392 a2=1.3 b2=157.9 c2=-2344.8
程序详见附表2。
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身长与质量的关系——二次函数14001600胸围与质量的关系——二次函数130012001100100090080070060060080012001400100050040030323436384042444640020222426283032
4.1.3 三次函数模型
假设鱼质量和身长以及鱼质量和胸围的关系都为三次函数关系，具体记为：
y=a1x13+b1x12+c1x1+d1 y=a2x23+b2x22+c2x2+d2
其中：a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2都是参数。 参数估计方法同上，可得：
a1=1 b1=-80 c1=3008 d1=-37262 a2=-1 b2=90 c2=-2228 d2=18113
程序详见附表3。
身体与质量的关系——三次函数14001300120011001000900800700600500400303234363840424446
胸围与质量的关系——三次函数1400130012001100100090080070060050040020222426283032
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? 误差分析
利用方差对上述结果进行误差分析，其实质上就是比较三种函数模型的目标函数值的大小，目标函数数值小的误差小。由此可得:
方法 身长误差 胸围误差
1.6543e+004 1.6258e+004 一次函数关系
9.8461e+003 2.1530e+007 二次函数关系
2.0881e+009 5.0456e+007 三次函数关系
程序详见附表4。显然，二次函数关系模型对鱼质量和身长的关系估计的更准确，一次函数关系对鱼质量和胸围的关系估计的更准确。
模型二 机理分析法探究身长和胸围共同对鱼质量的影响
由模型一知胸围和身长对质量都有影响，因此在模型二中考虑二者共同对质量的影响，采用两种方法。
4.2.1 加权平均法对模型一的进一步处理
对模型一中胸围和身长分别对质量的影响加权平均。
加权平均法是一种根据各种因素对结果影响大小对因素加不同权重的方法。公式：
y=am+bn
(其中a,b分别为权重且满足a+b=1，m,n分别为影响因素，若影响因素不止两个，可以按此格式继续扩展)
对于此研究课题影响因素分别为身长和胸围，在模型一中已得出身长对质量的影响函数为：
Y1=y=1.6247x12-59.3124x1+709.7392
胸围对质量的影响函数为：
Y2=y=92x2-1497.5
对两种因素加权重，此课题不妨取权重分别为0.5（根据需要也可取权重分别为0.4,0.6或0.6,0.4等）得出加权模型：
Y=0.5Y1+0.5Y2
? 误差分析
在概率论与数理统计中我们已经学过，方差具有一定的计算法则，例如：D（ax+b）=a2D(x)。我们很容易得到该模型的误差，误差为：6.5260e+003
4.2.2 三维空间基本曲线模型
假设鱼质量和鱼身长、鱼胸围的关系为三维空间基本曲线函数关系，具体记为：
y=ax12+bx22+cx1x2+dx1+ex2+f
其中a,b,c,d,e,f均为参数。
参数估计方法同模型一，模型求解得：
a=-0.0001 b=0.7686 c=1.1436 d=0.0432 e=0.0289
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探究鲈鱼的质量估计的方法及应用
