第9讲 圆锥曲线的综合问题
最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
知 识 梳 理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，
??Ax＋By＋C＝0，2即?消去y，得ax＋bx＋c＝0. ?F（x，y）＝0?
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切； Δ＜0?直线与圆锥曲线C相离.
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k|x1－x2|
＝1＋k·（x1＋x2）－4x1x2 ＝
1
1＋2·|y1－y2|＝2222
k121＋2·（y1＋y2）－4y1y2. k诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.( ) (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.( ) (4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t|y1－y2|.( )
(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.( )
2
解析 (2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切. (3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. (5)应是以l为垂直平分线的线段AB所在的直线l′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
94A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
x2y2
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A
3.若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是( )
94
x2y2
?2?A.?0，? ?3??22?C.?－，? ?33?
x2
y2
?2?B.?－，0? ?3?
2??2??D.?－∞，－?∪?，＋∞? 3??3??
2
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得
943
?22?k∈?－，?. ?33?
答案 C
4.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条
B.2条
2
2
C.3条 D.4条
解析 过(0，1)与抛物线y＝4x相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点. 答案 C
5.已知F1，F2是椭圆16x＋25y＝1 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________.
解析 由题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4c＝144＝(|PF1|＋|PF2|)－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝128，
11
所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×128＝64.
22答案 64
2
2
2
2
2
2
2
2
6.(2017·嘉兴七校联考)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当m43＝________时，△FAB的周长最大，此时△FAB的面积是________.
解析 设椭圆＋＝1的右焦点为F′，则F(－1，0)，F′(1，0).由椭圆的定义和性质易知，
4392
当直线x＝m过F′(1，0)时△FAB的周长最大，此时m＝1，把x＝1代入＋＝1得y＝，434
x2y2
x2y2
x2y2
y＝±，S△FAB＝|F1F2||AB|＝×2×3＝3.
答案 1 3
第1课时 直线与圆锥曲线
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
3
21212
x2y2
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1，0)，
ab且点P(0，1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y＝4x相切，求直线l的方程. 解 (1)椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，∴c＝1， 又点P(0，1)在曲线C1上，
01222
∴2＋2＝1，得b＝1，则a＝b＋c＝2，
2
ab所以椭圆C1的方程为＋y＝1.
2
(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，
x2
2
x??＋y2＝1，222由?2消去y，得(1＋2k)x＋4kmx＋2m－2＝0. ??y＝kx＋m因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16km－4(1＋2k)(2m－2)＝0. 整理得2k－m＋1＝0.①
?y＝4x，?222由?消去y，得kx＋(2km－4)x＋m＝0. ??y＝kx＋m2
2
222
2
2
2
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)－4km＝0，整理得km＝1.②
2
22
2018年高考数学浙江专用总复习教师用书：第九章 平面
