解：（1）根据所给表格数据计算得x?51?2.5?3?4?4.52?3?4?5?6?4,y??3,
555?xyii?1i?2?7.5?12?20?27?68.5, ?xi2?4?9?16?25?36?90,
i?1???b?xy?5x?yiii?15?xi?15?2i?5x268.5?60???0.4, ?0.85,a??y?bx90?20??0.85x?0.4. 所以线性回归方程为y??0.85?10?0.4?8.1，即技术改造后的10年的（2）由（1）得，当x?10时，y维修费用为8.1万元，相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元.
19. 【本题满分12分，6+6】
已知四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PD?平面ABCD，E是PB的中点，PD?AD?2，AB?22． （1）求异面直线AE与CD所成角的大小； （2）求二面角E－AD－B大小的余弦值． 【注：本题用综合法作答，不允许使用空间向量】
6（1）4 （2）
3
π
试卷第6页，总11页
20. 【本题满分12分，3+4+5】
为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1:4，且成绩分布在[0,60]的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中a,b,c构成以2为公比的等比数列．
（1）求a,b,c的值；
（2）填写下面2?2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
获奖 不获奖 合计 文科生 6 理科生 合计 400 （3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望．
n(ad?bc)2附：K?，其中n?a?b?c?d.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P?K2?k? 0.05 0.010 6.635 0.001 10.828 k 解：（1）由频率分布直方图可知，
3.841 10?(a?b?c)?1?10?(0.018?0.022?0.025)?0.35，
试卷第7页，总11页
因为a,b,c构成以2为公比的等比数列，所以a?2 a?4 a?0.035，解得a?0.005， 所以b?2 a?0.01，c?4a?0.02. 故a?0.005，b?0.01，c?0.02.
（2）获奖的人数为0.005?10?400?20人，
因为参考的文科生与理科生人数之比为1: 4，所以400人中文科生的数量为
1400??80，理科生的数量为400?80?320.
5由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20?6?14人，不获奖的文科生有80?6?74人.
于是可以得到2?2列联表如下：
获奖 不获奖 合计 2文科生 6 74 80 理科生 14 306 320 合计 20 380 400 400?(6?306?14?74)2K??1.32?6.635
20?380?80?320所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.
（3）由（2）可知，获奖的概率为
201?， 40020X的可能取值为0，1，2，
0?1?P(X?0)?C2????20?0361?19?， ????20400??12?1?P(X?1)?C????20?122213819?19?， ??????20?4002002?1?P(X?2)?C????20?分布列如下：
1?19?， ?????20?4000试卷第8页，总11页
X P 0 1 2 361 40019 2001 400数学期望为E(X)?0?
3611911?1??2??. 4002004001021. 【本题满分12分，6+6】
已知函数f?x??12ax??2a?1?x?2lnx，其中a?R。 2（1）当a?0时，讨论函数f?x?的单调性；
（2）当a?0时，证明f?x??2e?x?4（其中e为自然对数的底数）
2解：（1）由题意，函数f?x?的定义域为?0,???，
22ax??2a?1?x?2?ax?1??x?2?f?x??ax??2a?1?????x?0?， xxx?当0?a?111时，f'?x??0?0?x?2或x?；f'?x??0?2?x?； 2aa1时，f'?x??0?f'?x??0； 2111当a?时，f'?x??0?0?x?或x?2；f'?x??0??x??.
aa2当a?综上，当0?a??1??1?1fx,??0,2时，??在??，??上单调递增，在?2,?上单调递减； 2?a??a?当a?当a?1时，f?x?在?0,???上单调递增； 21?1??1?时，f?x?在?0,?，?2,???上单调递增，在?,2?上单调递减. 2?a??a?x（2）当a?0时，由f?x??2e?x?4，只需证明ex?lnx?2，
x令g?x??e?lnx?2?x?0?，g'?x??e?x1. x试卷第9页，总11页
设g'?x0??0，则ex0?1?0?x0?1?. x0当x??0,x0?时，g'?x??0，g?x?单调递减； 当x??x0,???时，g'?x??0，g?x?单调递增， ∴当x?x0时，g?x?取得唯一的极小值，也是最小值.
xg?x?的最小值是g?x0??e0?lnx0?2?111?lnx0?2??x0?2?0成立. x0ex0故f?x??2e?x?4成立.
x【或：证明ex?x?1?lnx?2，再说明等号不同时取到】 22. 【本题满分12分，4+8】
ex已知函数f(x)??alnx??ax，其中a?R．
x（1）当a??1时，求函数f(x)的极值；
（2）当a?1时，若不等式f(x)?(bx?b?)?e?x?0在x?(1,??)时恒成立，求实数b的取值范围． 解：（1）函数f (x)的定义域为(0,+∞)
xx?x?ex?x?1?1xe?e, 由题意，f??x????1?22xxx1xx??令f??x?=0得，x=1 列表（略）
∴函数f (x)的极大值为? e ?1，无极小值。 （2）由题意，当a=1时，不等式f?x???bx?b?x??1?x?e?x?0在x∈(1，+∞)时恒x?成立. 整理，得lnx?b?x?1?e?0在(1，+∞)上恒成立.
试卷第10页，总11页
令h?x??lnx?b?x?1?e.
x易知，当b≤0时，h?x??0，不合题意. ∴b>0 又h??x??①当b≥
1?bxex，h??1??1?be. x11x时，h??1??1?be?0.又h??x???bxe在[1，+∞)上单调递减. ex∴h??x??0在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减. 所以h?x??h?1??0,符合题意； ②0?b?又h??x??11?1?h????1?e?0, 时，h??1??1?be?0, be?b?1?bxex在[1，+∞)上单调递减, x∴存在唯一x0∈(1，+∞)，使得h??x0??0.
∴当h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减.
又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x0)上恒成立，不合题意. 综上，实数b的取值范围为[
1，+∞ ). e试卷第11页，总11页
江苏省扬州中学2024-2024学年高二下学期6月月考试题 数学 扫描版含答案 - 图文
