大学量子力学主要知识点复习
1能量量子化
辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量? 的整数倍?,2?,3?,4?,???,n? 对频率为? 的谐振子, 最小能量?为: ??hν 2.波粒二象性
波粒二象性（wave-particle duality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式E?mc2?hν p?mv?h
?3.波函数及其物理意义
在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具
有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程
?????22i??(r,t)?[??V(r)]?(r,t)?0 ?t2m粒子的波动性可以用波函数来表示，
其中，振幅
表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，
应
该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数?i????k?Aexp[(p?r?Et)]
?波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义
常数因子不确定性设C是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。
C?ei??(x,y,z)c?(x,y,z)相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。 表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。
|?(x,y,z)|2?x?y?z|?(x,y,z)|2?(x,y,z)ei??(x,y,z) 表示点(x,y,z)处的体积元
|?(x,y,z)|dxdydz?1?中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该?2????x?y?z粒子在空间各点概率之总和为1 必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值
22|?(r)|?|?(x,y,z)|既然 表示 粒子出现在点 ?????r?(x,y,z)??x??|?(r)|2xd3r???*(r)x?(r)d3r,??
附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x的平均值x，由
__
概率论，有 又如，势能Vd3r?dxdydz??是 r的函数：V(r)，其平均值由概率论，
??????????)V(r)?(r)d3rV???*(r)V(r)?(r)d3r可表示为V?????*(r?? p???*(p)p?(p)d3p,??????3再如，动量 的平均值为： *?p???(r)p(r)?(r)dr????为什么不能写成
因为x完全确定时p完全不确定，x点处的动量没有意义。 能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？
???3? 可以，但需要表示为p???*(r)p?(r)dr
__
?? 其中 为动量 的算符 6.算符
量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算
??如动量算符p??i??
?? ?E?t??*3??(r)T?(r)dr ?????i??p?p??能量算符E?i?2?动能算符T????2 动能平均值T?2m?????? 角动量平均值l?角动量算符l?r?p???????????3?(r)l?(r)dr ?*薛定谔方程
?????22i??(r,t)?[???V(r,t)]?(r,t)
?t2m
???H22m?2?V(r)
算符 ，被称为哈密顿算符， 7.定态
2 的方程，称为本征方程。其中 数学中，形如2??afAf??算符,f?本征函数,a?本征值A[?方
2m??(r)?E?(r)??V(r)]?E(r)?E?E(r)?HEE程
称为能量本征方程，
? ?E(r)
被称为能量本征函数， E被称为能量本征值。
?i,t)=?E(r)exp(? 当E为确定值，?(r??Et)拨函数所描述
的状态称为定态，处于定态下的粒子有以下特征： 粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。 8.量子态叠加原理
但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即?(x)??cn?n(x)，
n|cn|2表示在态?(x)中发现粒子处于态?n(x),具有能量En的概率
9. 宇称
若势函数V（x）=V（-x），若?(x)是能量本征方程对于能量本征值E的解，则?(?x)也是能量本征方程对于能量本征值E的解
定义空间反演算符P为:P?(x)??(?x)如果P?(x)??(?x)??(x)或P?(x)??(?x)???(x)，称?(x)具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称?Pcos(x)?cos(?x)?cos(x)
设?(x)是能量本征方程对应于能量本征值E的解，如果V(x)?V(?x),若?(x)无简并，则?(x)具有确定的宇称。
10.束缚态
通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态
11. 一维谐振子的能量本征值
E?En?(n?1/2)??,n?0,1,2,???.12. 隧穿效应
量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。
又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势
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