第五十一讲 转化与化归思想 A组 1.(2016·河南郑州一模)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( ) A.8π B.16π C.32π D.64π 答案：C 解析：由三视图可得，该几何体是四棱锥(如图)，其中底面BCDE⊥侧面ABC，且底面BCDE为正方形(边长为4)，侧面ABC为等腰直角三角形(AB＝AC＝22)，利用补形可知以A，B，C，D，E为部分顶点的长方体的外接球即为四棱锥A－BCDE的外接球，其半径为R＝（22）2＋（22）2＋42＝22，所以外接球的表面积S＝4πR2＝32π，故选C. 2 2.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 答案：C 解析：法一 直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对. 法二 间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C212－12－6＝48. 3. （2017年高考全国1卷理）图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，3使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为_______。 1 【答案】415 【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则OG?133?x ?x. 3263x， 622? FG?SG?5???3??3?3?22 ， SO?h?SG?GO???5?6x?????6x???5??5?3x????????1?三棱锥的体积V?S3设n?x??5x?4?15351323?4 ?5x?x. ?h??x?55?x??ABC??123343??35534x，x>0，则n??x??20x3?x， 333x4?0，得x?43，易知n?x?在x?43处取得最大值. 令n??x??0，即4x?3∴Vmax?15?48?5?4?415. 12 2 xy4.(2016·山东泰安模拟)若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和yab轴上的截距之和的最小值是________. 答案：3＋22 解析：直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线l在x轴和y轴上的截距之12和的最小值即求a＋b的最小值.由直线l经过点(1，2)得＋＝1. ab?1＋2?＝3＋b＋2a， 于是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×?ab?abb2a因为＋≥2ab b2ab2a当且仅当＝时取等号?.所以a＋b≥3＋22 ×＝22?ab??abx2y25.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点，abb直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________. 2 答案：6 3x2y2＋＝1，a2b23b3b解析：联立方程组解得B、C两点坐标为B?－a，?,C?a，?,又F(c,0),2??22??2by＝，2???3b3ab?→→则FB＝?－a－c，?，FC＝?－c，， 2?2??2?2b2→→232又由∠BFC＝90°，可得FB·FC＝0，代入坐标可得：c－a＋＝0①， 44c22c又因为b＝a－c.代入①式可化简为2＝，则椭圆离心率为e＝＝a3a22226＝. 33 6.如图所示，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围是________． 3
2020年高考数学专题训练——第51讲 化归与转化
