杨氏弹性模量测定实验报告
一、摘要
弹性模量是描述材料形变与应力关系的重要特征量，是工程技术中常用的一个参数。在实验室施加的外力使材料产生的变形相当微小，难以用肉眼观察，同时过大的载荷又会使得材料发生塑形变形，所以要通过将微小变形放大的方法来测量。本实验通过光杠杆将外力产生的微小位移放大，从而测量出杨氏弹性模量，具有较高的可操作性。
二、实验仪器
弹性模量测定仪（包括：细钢丝、光杠杆、望远镜、标尺和拉力测量装置）；钢卷尺、螺旋测微器、游标卡尺。
三、实验原理
（1）杨氏弹性模量定义式
任何固体在外力作用下都要发生形变，最简单的形变就是物体受外力拉伸（或压缩）时发生的伸长（或缩短）形变。设金属丝的长度为L，截面积为S，一端固定，一端在伸长方向上受力为F，伸长为△L。
定义：
ε?物体的相对伸长
?L为应变， LF为应力。 S物体单位面积上的作用力σ?根据胡克定律，在物体的弹性限度内，物体的应力与应变成正比，即
F?L?E SL则有：
E?FL S?L式中的比例系数E称为杨氏弹性模量（简称弹性模量）。
实验证明：弹性模量E与外力F、物体长度L以及截面积的大小均无关，而只取决定于物体的材料本身的性质。它是表征固体性质的一个物理量。
对于直径为D的圆柱形钢丝，其弹性模量为：
E?4FL
πD2?L根据上式，测出等号右边各量，杨氏模量便可求得。式中的F、D、L三个量都可用一般方法测得。唯有?L是一个微小的变化量，用一般量具难以测准。故而本实验采用光杠杆法进行间接测量。 （2）光杠杆放大原理
光杠杆测量系统由光杠杆反射镜、倾角调节架、标尺、望远镜和调节反射镜组成。实验时，将光杠杆两个前足尖放在弹性模量测定仪的固定平台上，后足尖放在待测金属丝的测量端面上。当金属丝受力后，产生微小伸长，后足尖便随着测量端面一起作微小移动，并使得光杠杆绕前足尖转动一个微小角度，从而带动光杠杆反射镜转动相应的微小角度，这样标尺的像在光杠杆反射镜和调节反射镜之间反射，便把这一微小角位移放大成较大的线位移。
如右图所示,当钢丝的长度发生变化时，光杠杆镜面的竖直度必然要发生改变。那么改
1
变后的镜面和改变前的镜面必然有一个角度差，用θ来表示这个角度差。从下图我们可以看出：
?L?b?tan??b? ，式中b为光杠杆前后足距离，称为光杠杆常数。
设开始时在望远镜中读到的标尺读数为r0，偏转后读到的标尺读数为
ri，则放大后的钢丝伸长量为C?r-r0，由图中几何关系有：
2??tan2??C/2H,??C 4H
由上式得到：?L?bC 4H代入计算式，即可得下式：
E?这就是本实验所依据的公式。
16FLH
?D2bC四、实验步骤
（1）调整测量系统 1、目测调整
首先调整望远镜，使其与光杠杆等高，然后左右平移望远镜与调节平面镜，直到凭目测从望远镜上方观察到光杠杆反射镜中出现调节平面镜的像，再适当转动调节平面镜直到出现标尺的像。 2、调焦找尺
首先调节望远镜目镜旋轮，使“十”字叉丝清晰成像；然后调节望远镜物镜焦距，直到标尺像和“十”字叉丝无视差。 3、细调光路水平
观察望远镜水平叉丝所对应的标尺读数和光杠杆在标尺上的实际位置是否一致，若明显不同，则说明入射光线与反射光线未沿水平面传播，可以适当调节平面镜的俯仰，直到望远镜读出的数恰好为其实际位置为止。调节过程中还应该兼顾标尺像上下清晰度一致，若清晰度不同，则可以适当调节望远镜俯仰螺钉。 （2）测量数据
1、首先预加10kg的拉力，将钢丝拉直，然后逐次改变钢丝拉力（逐次增加2kg），测量望远镜水平叉丝对应的读数。
由于物体受力后和撤销外力后不是马上能恢复原状，而会产生弹性滞后效应，所以为了减小该效应带来的误差，应该在增加拉力和减小拉力过程中各测一次对应拉力下标尺读书，然后取两次结果的平均值。
2、根据量程及相对不确定度大小，用钢卷尺测量L和H，千分尺测量D，游标卡尺测量b。考虑到钢丝直径因为钢丝截面不均匀而产生误差，应该在钢丝的不同位置测量多组D在取平均值。
（3）数据处理
由于在测量C时采取了等间距测量，适合用逐差法处理，故采用逐差法对视伸长C求平均值，并估算不确定度。其中L、H、b只测量一次，由于实验条件的限制，其不确定度不能简单地由量具仪器规定的误差限决定，而应该根据实际情况估算仪器误差限。
2
i、测量钢丝长度L时，由于钢丝上下端装有紧固夹头，米尺很难测准，故误差限应该取0.3 cm；
ii、测量镜尺间距H时，难以保证米尺水平，不弯曲和两端对准，若该距离为1.0~1.5m，则误差限应该取0.5cm；
iii、用卡尺测量光杠杆前后足距b时，不能完全保证是垂直距离，该误差限可定为0.02cm。
五、数据记录与处理
（1）计算钢丝弹性模量
钢丝长度L=39.60cm，平面镜到标尺的距离H=102.20cm，光杠杆前后足间距b=8.50cm
钢丝直径D测量结果（千分尺零点x0?0.320mm）
i 1 1.119 0.799 2 1.120 0.800 3 1.120 0.800 4 1.121 0.801 5 1.120 0.800 x/mm D?x-x0/mm 5D??Di?i?10.799?0.800?0.800?0.801?0.800 mm?0.800mm5加力后标尺的读数r i 1 10.0 5.00 5.05 2 12.0 5.40 5.35 3 14.0 5.79 5.75 4 16.0 6.32 6.28 5 18.0 6.55 6.59 6 20.0 6.90 6.94 7 22.0 7.31 7.32 8 24.0 7.72 7.70 9 26.0 8.14 8.12 10 28.0 8.31 8.32 8.315 m/kg r?/cm r-/cm r?r??r-/cm 5.025 5.375 5.770 6.300 6.570 6.920 7.315 7.710 8.130 2用逐差法求标尺读数改变量C i 1 1.895 2 1.940 3 1.940 4 1.830 5 Ci?（ri?5-ri）/cm 1.745 C??Ci?15i5?1.895?1.940?1.940?1.830?1.745cm?1.870cm
5故：E?16mgLH?DbC2?16?10?9.8012?0.396?1.022011Pa?1.987?10Pa -32-23.14?（0.800?10）?0.0850?1.870?10
（2）计算钢丝弹性模量的不确定度
L、H、b只测量一次，只有B类不确定度，估计其误差限为ΔL=0.3cm，ΔH=0.5cm，Δ
3
b=0.02cm，故：
u（L）?u（?bL）?L0.3?cm?0.173cm 33?H0.5?cm?0.289cm 33u（H）?u（?bH）u（b）?u（?bb）D的不确定度：
?b0.02?cm?0.0115cm 33u（?aD）u（?bD）22（D-D）?2ii?155?(5?1)?0.00032cm
?D0.005?mm?0.00289cm 332u（D）?ua(D)?ub（D）?0.00322?0.000289mm?0.00291mm
C的不确定度：
u（?aC）u（?bC）22（C?i?15i2-C）5?(5?1)?0.0372cm
?C0.05?cm?0.0289cm 33u（C）?ua(C)?ub（C）?0.03722?0.02892cm?0.0471cm
?E?16mgLH?DbC2?lnE?lnL?lnH?2lnD?lnb?lnC?ln16?lnm?lng?ln?
两边同时求微分，得到：
dEdLdH2dDdbdC????? ELHDbC将上式中d改为u，并取平方和的根：
u(E)u(L)2u(H)22u(D)2u(b)2u(C)2?[]?[]?[]?[]?[]ELHDbC0.17320.289200029120.011520.04712)?()?()?4?()?() 39.6102.20.8008.501.870?2.7%?( 4
故：u(E)?E?u(E)?1.987?1011?0.027Pa?0.05?1011Pa E最终结果为：E?u(E)?(1.99?0.05)?1011Pa
六、实验讨论 （1）误差分析
通过查阅相关资料可得，钢的理论弹性模量约为2.00?10~2.20?10Pa，不妨取
1111E真?2.10?1011Pa作为真值的估计值，并以此计算绝对误差与相对误差：
绝对误差?N?E-E真?(1.99?2.10)?1011Pa??0.11?1011Pa?N?0.11?1011Pa相对误差??100%?5.24E真2.10?10Pa可以看出，实验的误差是比较小的。
下面估算各测量量不确定度对最终结果的不确定度的贡献：
各测量量的相对不确定度分量 u(L)/L u(H)/H 2u(D)/D u(b)/b u(C)/C 4.37?10?32.83?10?32uA(D)/D2uB(D)/D1.35?10?3uA(C)/C uB(C)/C 8.00?10?47.22?10?3 1.99?10?21.55?10?2 可见，u(C)和u(D)的影响均很大，其贡献主要来自uA(C)/C、uB(C)/C和
2uB(D)D。实际上只计及这三项的方差合成就达2.6 %，和u(E)/E?2.7%相差无几。上
述不确定度分量主要来自仪器误差，因此很难再通过改善测量方法来提高准确度。反过来也说明本实验在测量方法上的安排上是合理的。C、D的测量中采取了多次测量的措施，其中对D的测量没有给E带入很大的误差，但C的测量则带入了很大的误差，故而在对C的测量可能存在较大问题。下面对C带来的误差可能性进行分析：
由于在实验中，通过光杠杆观察标尺像的读数时，轻微的扰动，就会使得标尺像出现晃动，严重影响了读数的准确性。同时由于未能完全消除视差的影响，在读取标尺读数r时，很可能会出现粗大误差。由公式E?16FLH16LHC??F，故随着F的可变形得到：
?D2bC?D2bE线性增加，C也应该作线性增加，故而等间距测量的Ci?ri?5-ri理论上应该等于某个常数。考虑到多次测量带来的随机误差，测量值应该围绕着该常数作上下波动。考察测量数据，并
将之做出散点图。
i 1 1.895 2 1.940 3 1.940 4 1.830 5 1.745 Ci?（ri?5-ri）/cm 5
光杠杆法测定杨氏模量实验报告
