练习题二：微元法
A1、如图所示，一个身高为h的人在灯下以均匀速度v沿水平直线行走，设灯距地面高为H，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。
解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。
设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程 △t（△t→0），则人由AB到达A′B′，人影顶端 C点到达C′点，由于△XAA′=v△t则人影顶端的
移动速度vC?lim?SCC??t?0?tH?SAA?Hv ?limH?h??t?0?tH?h可见vc与所取时间△t的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速直线运动。（本题也可用相似三角形的知识解）。
A2、 如图14—2所示，岸高为h，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为?时，
收绳速率为?，则该位置船的速率为多大？
图14—2 图14—2—甲
解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率. 设船在?角位置经?t时间向左行驶?x距离，滑轮右侧的绳长缩短?L，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有 ?L=?xcos?
两边同除以?t得：
?L?x?cos?，即收绳速率???船cos? ?t?t因此船的速率为?船??cos?
O v C
A3、如图2所示，在绳的C端以速度v匀速收绳从而拉动低处的物体M水平前进，当绳AO段与水平恰成?角时，物体M的速度多大？v/(1+cosa)
A4、一只狐狸以不变的速度?1沿着直线AB逃跑，一只猎犬 以不变的速率?2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，
M A α 猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速 度的大小. 解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变， 故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度a?2?2r,r为猎
图14—1
犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度 的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加 速度大小，由于?2大小不变，如果求出D点的曲率半径，
此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间?t内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度
2?2 a?R图14—2—甲
其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在?t时间内，设狐狸与猎犬分别 到达
F?与D?，猎犬的速度方向转过的角度为???2?t/R
而狐狸跑过的距离是：?1?t≈?L 因而?2?t/R≈?1?t/L，R=L?2/?1
2?2所以猎犬的加速度大小为a?=?1?2/L
R
A5、电量Q均匀分布在半径为R的圆环上（如图3—14
所示），求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场 强度.
解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场， 故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解. 选电荷元 ?q?R??
Q,它在P点产生的电场的场强的x分量为： 2?R?Ex?k?qR??Qx cos??k22222r2?R(R?x)R?xkQx2?(R?x)223根据对称性 E???Ex?????kQx2?(R?x)2232??kQx(R?x)223
由此可见，此带电圆环在轴线P点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向.
B3、一个原来不带电的半径为r的空心金属球放在绝缘支架上，右侧放置一个
电荷量为+Q的点电荷，点电荷到金属球表面的最近距离为r，则金属球上的感应电荷在球心处激发的电场强度大小为解：点电荷Q在球心处产生的场强球心O处的场强大小 E′=E=kQk2 ，方向向右 4rQE=k2 ，方向水平向左，则球面上感应电荷在4rQ4r2 ，方向水平向右． B4、一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s
成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1 = 1m的A点时，速度大小为v1 = 20cm/s ，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2 = 2m的B点时，其速度大小v2 = ? 老鼠从A点到达B点所用的时间t =?
解析：因为老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出的速度与通过的距离成反比，则不能通过匀速运动、匀变速运动公式直接求解，但可以通过图象法求解，因为在
1—s图象中，所v11围面积即为所求的时间。以距离s为横轴，为纵轴建立直角坐标系，则s与成正比，作
vv1—s图象如图11—3所示，由图可得s = 2m时，老鼠的速度为10cm/s 。在1m到2m之间v图象与横轴包围的面积即为所求的时间，所以老鼠从A到B爬行的时间为：t = (
111+)×= 7.5s 。 0.20.12
B5、1、A 、B 、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度
均为v ，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？
解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交 于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕O点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可。
由题意作图7—3 ，设顶点到中心的距离为s，则由已知条件得：s =3a 3V0 由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为：
3v v0是绕O点转动的速度 2s2a由此可知三角形收缩到中心的时间为：t ==
?v3vv′= vcos30°=解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示。所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解。
设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔Δt，在每一个Δt内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔Δt，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、?、an，显然当an→0时三只猎犬相遇。
3a1 = a－AA1－BB1cos60°= a－vΔt
2a2 = a1－a3 = a2－?? an = a－n?因为a－n?A 33vΔt = a－2×vΔt 2233vΔt = a－3×vΔt 223vΔt 232avΔt= 0 ，即nΔt= t 所以：t = 23vB C
B6、如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光
滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A端受的拉力T.
解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.
在铁链上任取长为△L的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图甲所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：
T???T???Gcos??T? ?T???Gco?s???Lgco?s
由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大△Tθ，所以整个铁链对A端的拉力是各段上△Tθ的和，即 T?s??g??Lco?s ??T?????Lgco?s?R 可得铁链A??Lco?Ti+1 端受的拉力
1、 观察 ?Lcos?的意义，见图乙，由于△θ很小，所以CD⊥OC，∠OCE=θ△Lcosθ表
示△L在竖直方向上的投影△R，所以
T??g??Lcos???gR
2、 解法一：元功法
设 在拉力T作用下移动?x 则 T?x???xgR 得 T??gR 解法二：微元法 取 ??
?? Ti 则 ?m??R?? 又 Ti?1?Ti??mgcos?
s??Rgco?s.?? 即 ?T??mgco? 而 R????L
?Lcos?为圆弧的水平分元
求和得 T???T??gR
B7、一根质量为M，长度为L的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接
触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图3—7所示，求链条下落了长度x时，链条对地面的压力为多大？
解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.
设开始下落的时刻t=0，在t时刻落在地面上的链条长为x，未到达地面部分链条的速度为v，并设链条的线密度为ρ.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t时刻起取很小一段时间△t，在△t内又有△M=ρ△x落到地面上静止.地面对△M作用的冲量为
(F??Mg)?t??I 因为 ?Mg??t?0
所以 F?t??M?v?0??v?x 解得冲力：
F??v?x?x，其中就是t时刻链条的速度v， ?t?t2故 F??v 链条在t时刻的速度v即为链条下落
长为x时的即时速度，即v2=2gx，代入F的表达式中，得 F?2?gx 此即t时刻链对地面的作用力，也就是t时刻链条对地面的冲力.
所以在
t
时刻链条对地面的总压力为
N?2?gx??gx?3?gx?3Mgx. LB8、一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直面内，在环内的环底A处有一质量为m、直径比管径略小的小球，小球上连有一根穿过环顶B处管口的轻绳，在外力F作用下小球以恒定速度v沿管壁做半径为R的匀速圆周运动，如图3所示.已知小球与管内壁中位
R B F O A 图3
奥赛例题及答案—微元法
