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12-2 平面简谐波的波函数
1、掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波波函数的方法； 2、理解波函数的物理意义。
重点：平面简谐波波动方程的导出，波函数的物理意义的理解； 难点：平面简谐波的物理意义。 课堂讲授（MCAI教学） 1个学时
一、平面简谐波的波函数
1、媒质中x处的质元在任意时刻t的位移y(x，t)叫波函数 2、讨论：沿+ｘ方向传播的一维简谐波(u，? ) 假设：媒质无吸收(质元振幅均为A)
设：原点O处质元(不一定是振源)作谐振动（初相位为零）， 其振动表达式为yO (t) = Acos?t
在Ox轴(波线)上的P点，离O点的距离为x O点的振动传播到P点需时t0?xu (u为波速)
P点质元在t 时刻的振动就是O点质元在t?xu时刻的振动 P处质元的振动方程为
xyP?Acos?(t?)u由于P点的任意性，上式即沿正方向传播的
平面简谐波的波动方程
xy(x,t)?Acos?(t?)u3、说明：
(1) 波动方程的其它两种常见形式 由?=2?/T，u?????/T
；.
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有y(x,t)?Acos2?(?t?x?)或y(x,t)?Acos2?(tx?) T?取角波数k?2????u
有y(x,t)?Acos(?t?kx) (2) 若波沿Ox轴负方向传播
x)uy(3) 若振动方程为 ?Acos(?t??)
y(x,t)?Acos?(t???x??则相应的波函数为y?Acos???t?????
??u??二、波函数的物理意义
由y(x,t)?Acos(?t?kx)从几方面讨论 1、固定x，(x= x0)
y(x0,t)?Acos(?t?kx0)
波动方程变为x0点的振动方程
比较原点处质元，x0处质元在t时刻比原点处质元相位落kx0，x0的取值不同，则相位落后不同。
可见，波动是相位依次落后的振动的集合。
x0处质元的振动速?y??A?sin?(t?x0)度不同于波传播的速度u ?tu2x0?y2x0处质元振动的加??A?cos?(t?)速度 2?tu2、固定t，(t = t0 )
y(x,t0)?Acos(?t0?kx)
给出同一时刻的曲线——波形图 P1处质元的相位(ωt0 – kx1) P2处质元的相位(ωt0- kx2)
两点的相???k?x?2??x位差
?当相位差???2?时 波程差?x??
；.
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可见，波长是相位差为2?的两质元间的距离。 3、y(x，t)表达了所有质元位移随时间变化的整体情况 可见，波形沿传播方向前进，即为行波 4、波动方程反映了波的时间、空间双重周期性
? 空间周期性；T 时间周期性
u??T??k
5、波动方程反映了波是振动状态的传播 y(x，t) = y(x+?x，t + ?t) ，其中?x = u? t 波传播的速度：看某一特定振动状态即 相位(? t - kx) =常数的传播速度。 即相速dx???u度为
dtk从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播. 三、波动微分方程
?x?由y ?Acos??t???u??y??x??y?x???A?sin??t??；?Asin??t?? ?tu?u??x?u?2?2y?2?x??y?x?2??A?cos?t???Acos?；???t?? 222?tu?u??x?u??2y1?2y由上两式有：2?22，波的动力学微分方程。
?xu?t实际上平面简谐波只是上述方程的一个解。
[例题1] 已知波动方程y?5cos?(2.5t?0.01x)，求波长、周期和频率。 (长度单位为 cm，其它为(SI)) 解：方法一(比较系数法)
?2.50.01??tx?t?x?与y?Acos2????比较 将波动方程改写为y?5cos2??2??2?T??；.
10-2 平面简谐波的波函数
