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2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案
（广东省3月17日复试）
一．选择题（5×7'=35'）
1.对正整数n，记n！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )．
A．0 B．1 C．3 D．5
【分析】n?5时，n！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C．
?2x?5?x??5??32.已知关于x的不等式组?x?3恰好有5个整数解，则t的取值范围是( )．
??t?x??2A.?6?t??11111111 B.?6?t?? C.?6?t?? D.?6?t?? 2222?2x?5?x??5??3?3?2t?x?20，则5个整数解是x?19,18,17,16,15． 【分析】?x?3??t?x??2
注意到x?15时，只有4个整数解．所以3.已知关于x的方程
14?3?2t?15??6?t??112，本题选C
xx?2a?2x恰好有一个实根，则实数a的值有( )个．
??2x?2xx?2xA．1 B．2 C．3 D．4 【分析】
xx?2a?2x??2?a?2x2?2x?4，下面先考虑增根： x?2xx?2x2ⅰ）令x?0，则a?4，当a?4时，2x?2x?0,x1?1,x2?0（舍）； ⅱ）令x?2，则a?8，当a?8时，2x?2x?4?0,x1??1,x2?2（舍）； 再考虑等根：
ⅲ）对2x?2x?4?a?0，??4?8(4?a)?0?a?故a?4,8,
22771，当a?,x1,2?.
22271，x?1,?1,共3个.本题选C． 22智浪教育—普惠英才文库
4.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设?ABC底边BC上的高为h，则
h?48481212???BC4CFCFDE，
111S?ADE?S?BDE??DE?h1??DE?h2??DE?(h1?h2)222 1112??DE?h??DE??622DE本题选D．
5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是( )．
1257A. B. C. D. 49183611C4?C2?1?182【分析】P??? 本题选B．
C92369
二．填空题（5×7'=35'）
6.设a?33，b是a2的小数部分，则（b?2)3的值为 ．
【分析】考虑到a?33，则a2?332?39，2?38?39?327?3,b?39?2,b?2?39 则（b?2)3?(39)3?9
7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是 ．
【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有12?6，而总次数是6?6?6次，则其概率为
P?
12?61?.
6?6?638.已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，则abc的最大值为 ． 【分析】先消去c，再配方估算．6a?a?b?16b?2?6(a?22121 )?(b?8)2?66?1224智浪教育—普惠英才文库
观察易知上式中a?3，故a?1,2,3，经试算，a?1,2时，b均不是整数；当a?3时，b?5,11，于是有
(a,b,c)?(3,5,13),(3,11,61)，故abcmax?3?11?61?2013．
9. 实数a、b、c、d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d，则所有满足条件的数组（a、b、c、d）为 ．
【分析】由根与系数关系知a?b?c?c?d?a?0?b?d,ab?d,cd?b，然后可得 （a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)
本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案．
10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔． 【分析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则4x?7y?2013,x?y?350
4x?7y?2013?4x?2012?8y?y?1?x?503?2y?令
y?14
y?1?k?y?4k?1，则x?503?2(4k?1)?k?505?7k，又x?y?350，即41?N505?7k?4k?1?350?k?51?k???k?52，y?4k?1?4?52?1?207
3即他至少卖了207支圆珠笔．
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