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（十六）数学分析2考试题
一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2
分，共20分）
1、 函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是（ ） A连续 B有界 C 无间断点 D有原函数
2、函数f(x)是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（ ） AC
??a?aaf(x)dx?2?f(x)dx B?f(x)dx?0
0?aaaa?af(x)dx??2?f(x)dx D?f(x)dx?2f(a)
0?aa3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A
?11x0dx B ???1x?n?11dx C ?sinxdx D ?0??1dx ?1x314、级数
?an?1?n收敛是
?an部分和有界且liman?0的（ ）
n??A 充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A C
????????an?1?n?1n和
?bn?1n收敛，
?abn?1nn也收敛 B
??an?1n和
?bn?1n发散，
?(an?1n?bn)发散
?an收敛和发散
?bn?1?n发散，
?(an?1n?bn)发散 D?an收敛和?bn发散，
n?1n?1???abn?1?nn6、
??an?1'nn(x)在[a，b]收敛于a（x），且an（x）可导，则（ ）
AC
?an?1?(x)?a'(x) B a（x）可导
an(x)dx??a(x)dx D ?an(x)一致收敛，则a（x）必连续
an?1b???n?1?ba7、下列命题正确的是（ ） AB
?an?1?n(x)在[a，b]绝对收敛必一致收敛 (x)在[a，b] 一致收敛必绝对收敛
?an?1nC 若lim|an(x)|?0，则
n???an?1?n(x)在[a，b]必绝对收敛
1
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D
?an?1??n(x)在[a，b] 条件收敛必收敛
1x2n?1的和函数为 2n?1
8、
x?(?1)nn?0Ae Bsinx Cln(1?x) Dcosx 9、函数z?ln(x?y)的定义域是（ ） A?(x,y)|x?0,y?0? B?(x,y)|y??x? C(x,y)|x?y?0 D ?(x,y)|x?y?0?
??10、函数f(x,y)在（x0,,y0）偏可导与可微的关系（ ） A可导必可可导必不可微
C可微必可导 D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题6分，共30分）
1、
?91f(x)dx?4，求?xf(2x2?1)dx
022、计算
???01dx
2?2x?x2?(?1)n1n3、计算?x的和函数并求?
nn?1n?1n4、设z?2xz?y?0，求
3?z?x
(1,1,1)x2y5、求lim2 2x?0x?yy?0三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）
?x2?y2?xy1、 讨论f(x,y)??x2?y2?0?2、 讨论
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在（0，0）点的二阶混合偏导数
?(?1)n?2?n?12nsin2nx的敛散性 n四、证明题：（每小题10分，共30分）
1、设f1(x)在[a，b]上Riemann可积，
fn?1(x)??fn(x)dx(n?1,2,?)，证明函数列{fn(x)}在[a，b]上一致收敛于0
ab3、 设f(x)在[a，b]连续，证明
??0xf(sinx)dx??2??0f(sinx)dx，并求
??0xsinxdx
1?cos2x2
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参考答案
一、1、B 2、B 3、A 4、c 5、C 6、D 7、D 8、C 9、C 10、C 二、1、
2?2012xf(2x?1)dx??f(2x2?1)d(2x2?1)（3分）令u?2x2?1，
20219f(u)du?2（3分） ?0?12AA?1?1limd(1?x)?limarctan(1?x)?2、?=（6分） dx01?(1?x)202?2x?x2A???A??04xf(2x2?1)dx?3、解：令f(x)=
1nx，由于级数的收敛域[?1,1)（2分），?n?1n?f(x)=?x'?n?1n?1x11?，f(x)=?，令x??1，得 dt?ln(1?x)（2分）
01?t1?x(?1)n?ln2 ?nn?1?24、解：两边对x求导3zzx?2z?2xzx?0（3分）zx?2z（2分）
3z2?2x?z?2（1分）
?x(1,1,1)x2yx2y?0（1分） 5、解：0?|2|?x（5分）lim22x?02x?yx?yy?0由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）
?x4?4x2y2?y222x?y?0?y222三、1、解、fx(x,y)??（2分） (x?y)?0x2?y2?0??x4?4x2y2?y222x?y?0?x222(4分） fy(x,y)??(x?y)?0x2?y2?0?f(0,?y)?fx(0,0)?2z(0,0)?limx??1
?y?0?y?x?yfy(?x,0)?fy(0,0)?2z(0,0)?lim?1（6分）
?x?0?x?y?xn2n2sinx22、解：由于limn|(?1)，即2sinx?1级数绝对收|?2sin2x（3分）
n??n22敛2sinx?1条件收敛，2sinx?1级数发散（7分）
n?1所以原级数发散（2分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
3
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