2020年中考数学人教版专题复习：命题
一、教学内容：
命题和命题的证明
1. 理解命题的含义，会区分命题的题设和结论，能根据已有的知识和经验判断一个命题的真假性.
2. 了解公理、定理、证明的概念，会对一个真命题进行证明.
二、知识要点：
1. 命题的概念
对一件事情作出判断的语句，叫做命题.
命题都是由条件和结论两部分组成的，没有条件或没有结论的语句都不是命题. 疑问句不是命题，祈使句也不是命题. 命题常写成“如果……那么……”的形式. “如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
2. 真命题、假命题
正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题. 3. 判断一个命题是假命题
判断一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件但结论不同于命题结论的例子就可以了，像这样的例子叫做反例.
4. 公理、定理、证明
（1）一个命题的真假，常常需要进行有理有据的推理才能作出正确的判断. 这个推理的过程叫做命题的证明.
（2）我们把经过证明的真命题叫做定理.
（3）经过实践检验公认是真命题的，我们把它叫做公理.
（4）对一个名词或术语的含义加以描述、规定，就是这个名词和术语的定义. 说明：
（1）公理不需推理论证，可以作为判定其他命题真假的依据. 定理也能作为判定其他命题真假的依据.
（2）证明命题时，仅有已知条件作为证明的基础是不够的，还需要一些公理、定义和定理作为推理论证的依据.
5. 一般地，证明一个几何命题有如下步骤： 根据题意第一步画出图形；
根据条件、结论和图形第二步写出已知、求证； 分析、探索第三步写出证明过程.
三、重点难点：
重点是理解命题、公理、定理、证明的概念，掌握推理的基本方法及基本过程. 难点是如何判定一个命题是真命题，还是假命题.
【典型例题】
例1. 下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请你先将它改写为“如果……那么……”的形式，再指出命题的条件和结论.
（1）对顶角相等.
（2）画一个半径为7cm的圆. （3）偶数一定是合数吗？ （4）偶数是合数.
分析：（2）是祈使句，（3）是疑问句，不是命题. 改写命题时要注意把句子写完整. 解：（1）、（4）是命题. （2）、（3）不是命题. （1）改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 其中条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”. （4）改写为：如果一个数是偶数，那么这个数是合数. 其中“一个数是偶数”是条件，“这个数是合数”是结论.
评析：误区一：把祈使句误判为判断句，识别祈使句的方法：句子的前面可以添加“请”字，如“连结A、B两点”句前加“请”为“请连结A、B两点”. 判断句的前面不能添加“请”字. 误区二：认为错误的判断不是命题，看一个语句是否是命题，就看它是否对一件事情作出了判断，而不管判断是否正确. 即只要对一件事情作出判断，这个语句就是一个命题.
例2. 下列各语句哪些是命题，对于命题，请你先将它改写成“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论，并指出是真命题，还是假命题，并说明为什么是假命题.
（1）你吃饭了吗？
（2）你今年上8年级，明年一定上9年级； （3）作一个角的角平分线； （4）互为倒数的两个数的积为1； （5）内错角相等；
（6）不等式的两边同时乘以一个数，不等号的方向改变.
分析：命题是判断一件事情的语句，疑问句、陈述句都不是判断的语句，（1）是疑问句，（3）是陈述句. 改写命题时，要适当地增减语句，使语句通顺，但不能改变原意，命题的条件和结论要分清，通过举反例的方式来说明一个命题是假命题. 解：（1）（3）不是命题，（2）（4）（5）（6）都是命题. 改写如下：
（2）如果你今年上8年级，那么明年一定上9年级.
这个命题的条件是今年上8年级，结论是明年上9年级. 这个命题是假命题. 例如，明年可能因为某种原因休学或是其他情况.
（4）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1.
这个命题的条件是两个数互为倒数，结论是这两个数的乘积为1. 这是一个真命题. （5）如果两个角是内错角，那么这两个角相等.
这个命题的条件是两个角是内错角，结论是这两个角相等. 这个命题是假命题，例如，当被截两直线不平行时，内错角不相等.
（6）如果不等式的两边同时乘以一个数，那么不等号的方向改变.
这个命题的条件是不等式两边同时乘以一个数，结论是不等式的方向改变. 这个命题是1
假命题.例如，由2x＞1，可得x＞2，即同时乘以一个正数时，不等号的方向不变.
例3. 已知命题“a、b是实数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题？以下四种说法：
①a、b是实数，若a＞b＞0，则a2＞b2； ②a、b是实数；若a＞b且a＋b＞0，则a2＞b2； ③a、b是实数；若a＜b＜0，则a2＞b2； ④a、b是实数；若a＜b且a＋b＜0，则a2＞b2. 其中真命题的个数是（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
分析：此题可对题设部分进行分类讨论说明，可结合数轴，利用数形结合的思想很容易得出结论. 在①中a－b＞0且a＋b＞0，所以（a－b）（a＋b）＞0，即a2＞b2；在②中由a＞b，得a－b＞0，又因为a＋b＞0，故（a－b）（a＋b）＞0，即a2－b2＞0，故a2＞b2；在③中a－b＜0且a＋b＜0，所以（a＋b）（a－b）＞0，即a2＋b2＞0；在④中，由a＜b，得a－b＜0，又a＋b＜0，故（a＋b）（a－b）＞0，即a2－b2＞0，故a2＞b2. 故选D. 解：D
例4. 如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，∠1＝∠2. 求证：BE∥CF.
AEC1B2FD
证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC（ ），
∴∠ABC＝∠BCD＝90°（ ）. ∵∠2＝∠1（ ）， ∴∠EBC＝∠FCB（ ）.
∴BE∥CF（ ）. 评析：证明的依据是已知条件或定义定理、公理等.
例5. 试证明同角（或等角）的补角相等.
已知：如图，∠1＋∠α＝180°，∠2＋∠α＝180°. 求证：∠1＝∠2.
1α2
分析：一般地，证明一个几何命题必须先根据题意画出图形，再根据条件、结论写出已知、求证，最后在分析、探索的基础上，写出证明过程. 证明时不必写出分析过程. 证明：∵∠1＋∠α＝180°（已知），
∴∠1＝180°－∠α（等式的性质）. ∵∠2＋∠α＝180°（已知）， ∴∠2＝180°－∠α（等式的性质）. ∴∠1＝∠2（等量代换）.
评析：误区①：不画图形，这是不允许的. 画出准确、清晰、与题意相符的图形，不仅是必要的，且有助于在证明中进行观察分析. 误区②：推理缺乏依据. 对于证明的每一步，必须有推理依据，不能“想当然”，这些依据可以是已知的条件，也可以是定义、公理和已学过的定理.
【方法总结】
1. 命题与定理既互相独立，又相互依存. 定理是某些真命题的独立表现形式，命题与定理是一般与特殊的关系，并不是每个命题都能形成“定理”，而任何一个“定理”都是命题，只有反复理解概念，才能做到不混淆.
2. 证明的必要性. 因为我们经常采用观察、测量、归纳、类比的方法来探索结论，发现命题，但是这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对顶角相等
B. 相等的角是对顶角
D. 不相等的两个角不是对顶角 B. 两个锐角之和为锐角 D. 锐角小于它的余角 C. 相等或互补
D. 无法判断
C. 若a＞0，则－a＜0 A. 两个锐角之和为钝角 C. 钝角大于它的补角 A. 相等
2. 下列命题中，真命题是（ ）
3. 两个角的两边互相垂直，则这两个角（ ）
B. 互补
4. “同位角相等”是（ ） A. 平行线的性质 C. 公理
B. 平行线的判断方法 D. 假命题
B. 两个角的余角相等，那么它们的补角也相等 D. 相等的角是对顶角 B. 若ab＞0，则a＞0，b＞0
D. 两直线相交成90°，则两直线平行 C. 互补
AE5. 下列说法正确的是（ ） A. 不是邻补角的两个角不互补 C. 同位角相等
*6. 下列不是命题的是（ ） A. 作直线a的平行线b C. 两点之间，线段最短 A. 相等
*7. 如图所示，AD⊥BC，DE∥AB，则∠ADE与∠B的关系是（ ）
B. 互余
D. 无法判断
*8. 如图所示，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC＝43°，则∠AOD等于（ ） A. 137°
B. 143°
C. 133°
D. 90°
BDCBACOD
二、填空题
1. 命题“若a＋b＝0，则a、b互为相反数”的条件是__________，结论是__________. 2. 写出命题“若a2＝b2，则a＝b”不成立的反例__________.
3. “全等三角形的面积相等”的条件是__________. 结论是__________.
4. 若OC是∠AOB的平分线，那么∠AOC＝∠BOC，理由是____________________. 三、解答题
1. 指出下列命题的条件部分和结论部分. （1）直角都相等；
（2）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；
（3）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短； （4）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角. 2. 比较下面两句话，是不是命题？是不是真命题？ （1）我吃大米饭； （2）我是大米饭.
*3. 如图所示，已知AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角. 求证：∠ACD＝∠B. 证明：∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝90°（ ）. ∴∠BCD是∠DCA的余角（ ）. ∵∠BCD是∠B的余角（已知），
∴∠ACD＝∠B（ ）.
CB
**4. 两条平行线被第三条直线所截，你如何证明同位角的平分线平行.
DA
2020年中考数学人教版专题复习：命题
