《高等数学》（专科升本科） 复习资料
一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材
高等数学（一）第3版 本书编写组 高等教育出版社 二、复习内容及方法：
第一部分 函数、极限、连续
复习内容
函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。
复习要求
会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。
重要结论
1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积必为奇
函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数； 2. 单调有界数列必有极限；
3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定收敛； 4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于零；
5. 无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷大量的乘积则有多种可能 6. 初等函数在其定义域内都是连续函数；
7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。
重要公式
1. 若limf(x)?A,limg(x)?B,则
x?x0x?x0x?x0lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?AB；
x?x0x?x0limf(x)f(x)x?x0Alim??。(B?0) x?x0g(x)limg(x)Bx?x02. 两个重要极限公式
1sin?1??1；2） lim?1???e，lim?1?x?x?e。 1）limx?0xx?0x???x?x3. 在求极限的运算中注意使用等价无穷小量的代换，常见的等价无穷小量代换有：当x?0时，
x2x(?x)~x,sinx~x,tanx~x,1?cosx~,e?1~x。 ln12
第二部分 一元函数微积分
复习内容
导数的概念及其几何、物理意义、基本求导公式与各种求导法则，微分的概念及计算，罗尔定理、拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数增减性的判定，函数的极值与极值点、最大值与最小值，函数的凹凸性及拐点，曲线的渐近线。
复习要求
理解导数的定义，同时掌握几种等价定义，即
f?(x0)??yf(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0??x)f(x)?f(x0)；掌握导数的几何意义，了????x?x2?xx?x0解导数的物理意义；掌握连续与可导的关系，即连续不一定可导，而可导一定连续；熟练掌握基本初等函数的导数
公式与导数的四则运算法则、反函数与复合函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导法则，掌握对数求导法与高阶导数的求法；理解微分的定义，明确一个函数可微与可导的关系，即可微一定可导，反之一样；熟练掌握微分的四则运算和复合函数的微分；理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理，了解其几何意义；能熟练运用洛必达法则求极限，必须记住使用洛必达法则的条件，同时应注意以下几个问题：1.如果使用洛必达法则后，问题仍然是未定型极限，且仍满足洛必达法则的条件，则可再次使用洛必达法则，2.如果在“0/0”型或“?/?”型极限中含有非零因子，该非零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以达到简化运算的目的，3.如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合使用洛必达法则，也可以达到简化运算的目的；会利用导数的几何意义求已知曲线的切线方程与法线方程，会利用导数的符号判断函数的增减性，熟练掌握函数的极值与最值的求法即需掌握以下步骤：1.求出函数
y?f(x)的定义域，2.求出f?(x)，并在函数的定义域内求出导数等于零与导数不存在的点（驻点）3.判定驻点两侧
导数的符号，4.如果驻点处函数的二阶导数易求，可再次求导通过在该点的符号来判断极值，5.求最值时，只需求出所有的极值点与端点的值，最大（小）者即为最大（小）值；掌握判断曲线y?f(x)的拐点、凹凸性的一般方法：1.求出该函数的二阶导数，并求出其二阶导数等于零的点，2.同时求出二阶导数不存在的点，3.判定上述各点两侧，该函数的二阶导数是否异号，如果f??(x)在x0的两侧异号，则（x0,f(x0)）为曲线y?f(x)的拐点，4.在f??(x)?0的x的取值范围内，曲线是弧是下凹的，在f??(x)?0的x的取值范围内，曲线弧是上凸的.；了解渐近线的定义，并会求水平渐近线与铅直渐近线，即limf(x)?C，则y?C为曲线y?f(x)的水平渐近线，若limf(x)??，则
x??x?x0称x?x0为曲线y?f(x)的铅直渐近线；
重要结论
1. 如果函数y?f(x)在点x0的导数f?(x0)存在，则在几何上表明曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处存在切线，
且切线的斜率为f?(x0)，且切线方程为
y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，
当f?(x0)?0时，法线方程为
y?f(x0)??1(x?x0)， f?(x0)2. 若函数在点x0处可导，那么函数f(x)在点x0处必定连续，反之不一定；
3. 函数y?f(x)在点x可微的充分必要条件是y?f(x)在点x处可导，且有dy?f?(x)dx?y?dx； 4. 罗尔定理：若函数y?f(x)满足以下条件：
1）在闭区间[a,b]上连续，2）在开区间(a,b)内可导，3）f(a)?f(b)， 则在开区间(a,b)内至少存在一点?，使得f?(?)?0； 5. 拉格郎日中值定理：若函数y?f(x)满足以下条件：
1）在闭区间[a,b]上连续，2）在开区间(a,b)内可导， 则在开区间(a,b)内至少存在一点?，使得
f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)。
重要公式
1. 设u?u(x)与v?v(x)在点x可导，则
?u?v?uv??u?(v?0) (uv)??u?v?uv?， ???2v?v?2. 设复合函数y?f(g(x))，若u?g(x)点x处可导，y?f(u)在相应的点可导，则复合函数y?f(g(x))在点x处可导，且有链式法则
dydydu???f?(u)?g?(x) dxdudx3. 设y?f(x)是由??x??(t)所确定，其中?(t),?(t)都为可导函数，且??(t)?0，则
?y??(t)dydydt??(t)， ??dxdx??(t)dt4. 在求导数时，有时要注意对数求导法的应用 5. 洛必达公式：当f(x),F(x)满足一定条件时，有
x?x0limf(x)f?(x)f(x)f?(x)?lim?lim，lim x?xx??x??0F?(x)F(x)F(x)F?(x) 同时应注意可转化为“0/0”型或“?/?”型的极限
第三部分 一元函数积分学
复习内容
不定积分的概念与性质，不定积分的基本公式，积分第一换元法与第二换元法，分部积分公式与应用分部积分公式时应注意的一般原则，定积分的基本概念与基本性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法，无穷区间上的广义积分，求平面图形的面积，求旋转体体积。
复习要求
理解原函数与不定积分定义，了解不定积分的几何意义与隐函数存在定理；熟练掌握不定积分的性质与不定积分的基本公式，理解积分第一换元法，即设f(u)具有原函数F(u),u??(x)存在连续导函数，则有换元公式
?f[?(x)]??(x)dx??f(u)du?F(u)u??(x)?C?F(?(x))?C.
了解积分第二换元法；掌握分部积分公式，同时应注意在使用时应遵循的一般原则；理解定积分的定义与定积分的几何意义；熟练掌握定积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式；熟练运用定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷区间上的广义积分的求法；会用定积分的性质求平面图形的面积与旋转体的体积。
重要结论
1.
若F(x)为f(x)在某区间上的一个原函数，则F(x)?C为f(x)的所有原函数，称为f(x)的不定积分，记为2. 3.
?f(x)dx；
定积分表示一个数值，它只取决于函数f(x)与积分区间，与积分变量无关，即如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分
?ba f(x)dx??f(t)dt；
ab?baf(x)dx必定存在；
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