2024届高三文科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版
【3年高考试题比较】
对于导数的解答题，考纲的要求是：1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题.
通过比较近三年的高考卷总结如下：一般有两问，（16年3卷出现了三问），第一问往往是以讨论函数单调性和切线问题为主，第二问主要涉及不等式的恒成立问题，零点问题，函数最值问题，一元的不等式证明和二元的不等式证明
【必备基础知识融合】
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1) 2.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′（x）g（x）－f（x）g′（x）?f（x）?
?′＝(3)?(g(x)≠0).
[g（x）]2?g（x）?3.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的
导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 4.函数的单调性与导数
(1)在区间D上，若f′(x)≥0，且f′(x)＝0不连续成立?函数f(x)在区间D上递增；
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos__x f′(x)＝－sin__x f′(x)＝ex f′(x)＝axln__a 1f′(x)＝x 1f′(x)＝xln a (2)在区间D上，若f′(x)≤0，且f′(x)＝0不连续成立?函数f(x)在区间D上递减； (3)在区间D上，若f′(x)＝0恒成立?函数f(x)在区间D上是常函数. 5.函数的极值与导数
6.函数的最值与导数
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
【解题方法规律技巧】
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典例1：已知曲线y＝x3＋.
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(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.
14?142x0，x3(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A?0＋，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x0. 33??33
134?2234234232x0＋＝x0(x－x0)，即y＝x2∴切线方程为y－?0·x－x0＋.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x0－x0＋，即x0－3x03??33333
3＋x2－4x2＋4＝0， ＋4＝0，∴x000
2(x＋1)－4(x＋1)(x－1)＝0，∴(x＋1)(x－2)2＝0，解得x＝－1或x＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0∴x00000000
或4x－y－4＝0.
【规律方法】(1)求切线方程的方法：
①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程； ②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.
(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
x－1
典例2：设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数.
x＋1(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性.
【规律方法】 (1)确定函数单调区间的步骤： ①确定函数f(x)的定义域； ②求f′(x)；
③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f(x)＝x，f′(x)＝3x≥0(x＝0时，f′(x)＝0)，但f(x)3
＝x在R上是增函数.
（3）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.
1
典例3： 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).
2
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围. 1
解 (1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，①
2
11所以h′(x)＝－ax－2，由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，②
xx3
2
【规律方法】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法： (1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”；
方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”. (2)函数f(x)在区间D上递增(减).
方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题； 方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”. 易错警示 对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；
对于②：h(x)在(0，＋∞)上存在递减区间，应等价于h′(x)<0在(0，＋∞)上有解，易误认为“等价于
h′(x)≤0在(0，＋∞)上有解”，多带一个“＝”之所以不正确，是因为“h′(x)≤0在(0，＋∞)上有解即为h′(x)<0在(0，＋∞)上有解，或h′(x)＝0在(0，＋∞)上有解”，后者显然不正确；
对于③：h(x)在[1，4]上单调递减，应等价于h′(x)≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h′(x)<0在[1，4]上恒成立”.
典例4：已知函数f?x??xlnx?a2x?a?R? . 2
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