全国初级中学数学竞赛试题及答案解析

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2005年全国初中数学联赛决赛试卷

一、选择题：(每题7分，共42分) 1、化简：14＋59+302＋13－66－402的结果是＿＿。

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。 A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 3、设r≥4，a＝1－1，b＝1－1，

rr+1rr+1c＝

1，则下列各式一定成立的是＿＿。

r(r+r+1)A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

22A、5 B、6 C、125－π D、116－π 22225、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， y 记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。 A、p>q B、p＝q C、p

2222+x2+x3+x2－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则x14+x5的未位数字是＿＿。

A、1 B、3 C、5 D、7 二、填空题(共28分)

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1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。 2、7x2+9x+13+7x2－5x+13=7x，则x＝＿＿＿。 3、若实数x、y满足

x＋y=1,x＋y=1,则x＋y＝＿＿。 33+4333+6353+4353+634、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。 三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)

1、a、b、c为实数，ac＜0，且2a+3b+5c=0，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于3而小于1的根。 4

2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。

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3、a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。

2005年全国联赛决赛试卷详解

一、选择题：(每题7分，共42分) 1、化简：14＋59+302＋13－66－402的结果是＿＿。

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数 解

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14＋59+302 ?＋13－66－402＋1?14＋50+2450?9＋13－50－2800?16

14＋52?33－52?4?1＋1?7－52?7＋52??14

49?507＋527－52 所以选D

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。

A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 解：由题意得：

?1451110180?-? .

52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α) ∴221－140cosα＝221＋220 cosα ∴cosα＝0 ∴α＝90°

∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90 ∴选C

3、设r≥4，a＝－1r111－1，c＝，b＝，则下列各式一定成立r+1r(r+r+1)rr+1的是＿＿。

A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a 解法1：用特值法，取r=4，则有

25?251.0361－1?1155?25 a=，b＝－ ， ???45202510202055?21.1815?2???c＝

420204(2+5)∴c>b>a，选D 解法2：a＝－????1r1?1， r?1r?r?1?b＝1－1?r?1?r?1 rr?1r?r?1?r?r?1?r?1?r??c＝1 r(r+r+1) .

r?4,?r?r?1??r?r?1??r?1?r??r?r?1??r?r?1??r?1?r????r?r?1??r?1r?1?1?1??0???

?r?r?1??又r?r?1?　　???r?r?1?????r?1?r,故a?b??r?1?r?r??r?1?r??

?r?1?rr?r?1??r?0??r?r?1??r?1?r?r??r?1?r故b?c,综上所述:a?b?c,选　D1?1＜1

解法3：∵r≥4 ∴rr?1 ∴a???1????1??1?1??1?1?b

r?1??rr?1?rr?1?r c＝r?1?r?r?1?r?1?1?b

rrr?1rr?1 ∴a

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

A、116－π5 B、6 C、125－π22 D、 2222解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积 ∴??1?2AB,?AB?

22?2 理

得

公

共

弦

为

2由垂径定

16??216??2???21????2??

42?4? ∴选D