2019年高考数学必考考点穿透性讲练
07 导数的应用（二）
【考点突破】： 一、.考纲要求;
1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；
3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题． 二、题型、难度：
题型：选择、填空题、解答题，分值一般在20分左右，选填难度中等偏上，解答题较难，处于压轴的位置。 三、高考真题再现：
例1（2018新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ex﹣ax2． （1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1； 【答案】（Ⅰ）a=1；（Ⅱ）（，+∞）．
【解析】（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的导数为 f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．
由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， 可得（a﹣2a﹣1+2）e=0， 解得a=1；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex=（x﹣2）（ax﹣1）ex， 若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减． x=2处f（x）取得极大值，不符题意；
若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值； 若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增， 可得f（x）在x=2处取得极小值；
若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；
若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减， 可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意． 综上可得，a的范围是（，+∞）．
例4.（2018天津卷）已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1． （Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=（Ⅲ）证明当a≥e【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）解：由已知，h（x）=ax﹣xlna，有h′（x）=axlna﹣lna， 令h′（x）=0，解得x=0．
由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：
x h′（x） h（x）
（﹣∞，0）
﹣ ↓
0 0 极小值
（0，+∞）
+ ↑
；
时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．
∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；
（Ⅱ）证明：由f′（x）=axlna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为由g′（x）=
，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为
．
lna．
∵这两条切线平行，故有，即，
两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logalna=0， ∴x1+g（x2）=
；
由①得，代入②得：
，③
因此，只需证明当a≥
时，关于x1 的方程③存在实数解．
设函数u（x）=，既要证明当a≥时，函数y=u（x）存在零点．
u′（x）=1﹣（lna）2xax，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减， 又u′（0）=1＞0，u′
=
＜0，
故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）=0，即．
由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减， u（x）在x=x0处取得极大值u（x0）． ∵
，故lnlna≥﹣1．
∴
下面证明存在实数t，使得u（t）＜0， 由（Ⅰ）可得ax≥1+xlna，当
时，有
=．
u（x）≤
∴存在实数t，使得u（t）＜0．
=．
专题07 导数应用(二)-(理)必考考点穿透性讲练
