第二讲不等式的证明及著名不等式
1. 基本不等式
⑴定理：如果a, b￡R,那么a2 + b2^ 2ab,当且仅当a = b时，等号成立.
a + b
⑵ ______________________________________________ 定理(基本不等式)：如果a, b>0 , 那么2 __________________________________________ ab,当且仅当—时，等号成立.也 可以表述为：两个一的算术平均 ______________________ 它们的几何平均. ⑶
y,
利用基本不等式求最值：对两个正实数x,
① 如果它们的和s是定值，则当且仅当一时，它们的积P取得最 值； ② 如果它们的积P是定值，则当且仅当一时，它们的和s取得最 值.
2.
三个正数的算术一几何平均不等式
a+ b+ c 3
定理如果a, b, c均为正数，那么3 3abc,当
(1)
且仅当 时，等号成立.
即三个正数的算术平均 _________ 它们的几何平均. ⑵基本不等式的推广
ai + a2 H— + 对于n个正数ab a2, - , an,它们的算 __________ 它们的几何平均，即 「
术平均 °
___ n aia2?- an,
当且仅当 _______________ 时，等号成立.
3. 柯西不等式
⑴设a, b, c, d均为实数，则(a2 + b2)(c2+d2)(ac + bd)2,当且仅当ad= be时等号成 立.
(2)设 ai, a2, a3, ??? , an, bi, b2, b3, ?- , bn是实数，贝lj(a勺+a?2+…+ a2n)(bi2+b22+ …+ b2n)^(aibi +a2b2+- + anbn)2,当且仅当 bi=0(i = 1,2, - ,
n)或存在一个数 k,
使得ai = kbi(i = 1,2, - , n)时,等号成立.
⑶柯西不等式的向量形式：设a,卩是两个向量，则|a||p|,当且仅当卩是零向 量，或存在实数k,使a=k卩时，等号成立.
4 ?证明不等式的方法 ⑴比较法
①求差比较法
知道a>b?a-b>0, a
②求商比较法
a
由a>b>o?b>i且a>0, b>0,因此当a>0, b>0时要证明a>b,只要证明 ___________________ 即可，这种 方法称为求商比较法.
⑵分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的,直到将待证不等式归结为一个 已成立 的不等式（已知条件、定理等）?这种证法称为分析法，即“执果索因\的证明方法.
⑶综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所 要证明的不等式 成立，即“由因寻果\的方法，这种证明不等式的方法称为综合法.
⑷ _____________________________ 反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式 的 假设；
第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而 证明原不等式成立.
⑸ ______________________________________________________ 放缩法所谓放缩法，即要把所 证不等式的一边适当地 ___________________________________ ,以利于化简，并使它与不等 式
的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立. ⑹数学归纳法
设｛Pn｝是一个与自然数相关的命题集合，如果：⑴证明起始命题P#或P0）成立；（2）在 假设
Pk成立的前提下，推出Pk+1也成立，那么可以断定｛Pn｝对一切自然数成立.
题型一柯西不等式的应用
例 1 已知 3x2+2y2^ 6,求证：2x + yW 11.
思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条 件的 式子，二维形式的柯西不等式（a^ + b?） （c2 + d2） M （ac + bd） 2,当且仅当ad = bc时
等号成立若3x+ 4y= 2,则x2+y2的最小值为
题型二用综合法或分析法证明不等式
例 2 已知 a, b, cW (0, +°° ),且 a+ b + c = 1,
111
求证： (1 ) (a— 1 )?(b—1)?(c—1)$8；
(2) a+ b+ cW 3.
思维升华用综合法证明不等式是“由因导果\分析法证明不等式是“执 它们 果索因是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述 简单、条理清楚，所 以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此 可见，分析法与综合法相互 转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可 以增加解题思路，开阔视野.
设 a, b, c>0,且 ab + bc + ca= 1.
求证： (1) a+ b+ cM 3;
第二讲不等式的证明及著名不等式
