三元一次方程组及实际问题知识讲解

三元一次方程组及实际问题

三元一次方程组的解法 1、三元一次方程的概念

三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 2、三元一次方程组的概念

一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 3、三元一次方程组的解法

（1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；

③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 典例剖析：

[例1]解方程组

[例3]

[例2]

[例4]

[例5]

训练题： 解下列方程组

??4x?9y?12?y?2x?7?? （1）?5x?3y?2z?2 （2）?3y?2z?1

?3x?4z?4?3??7x?5z?4?4

?3x?y??7?4x?9z?17??（3）?y?4z?3 （4）?3x?y?15z?18

?2x?2z??5?x?2y?3z?2??

?7x?6y?7z?100?2x?4y?3z?9??（5）?x?2y?z?0 （6）?3x?2y?5z?11

?3x?y?2z?0?5x?6y?8z?0??

?3x?2y?z?3?2x?6y?3z?6??（7）?2x?y?z?4 （8）?3x?12y?7z??3

?4x?3y?2z??10?4x?3y?4z?11??

?x?y?1?x:y:z?1:2:3?（9）? （10）?y?z?2?2x?y?3z?15?z?x?3?

实际问题与二元一次方程：

1.利用二元一次方程组解决问题的基本过程：

2.实际问题向数学问题的转化：

3.设未知数有两种设元方法——直接设元、间接设元. 当直接设元不易列出方程时，用间接设元.在列方程(组)的过程中，关键寻找出“等量关系”，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元 4. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案.

5.常见题型有以下几种情形： （1）和、差、倍、分问题。

此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。

例1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

（2）行程问题（基本关系：路程＝速度×时间。）

相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

a.同时不同地：甲的时间=乙的时间 甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 b.同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差 甲的路程=乙的路程 环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。 船（飞机）航行问题：相对运动的合速度关系是： 顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度； 逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。 车上（离）桥问题：

①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。 ②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。所走的路程为一个成长 ③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长 ④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长