2021年中考数学热点专题复习：借助数学思想 求解角度问题
在求解角度问题时，学生必需掌握角的平分线性质，以及角的和、差、倍、分定义及基本图形的性质，然后利用角平分线的定义、比例、方程等综合知识，以及转化、变换、分类、构造数学等思想来解决间题.以下举例说明. 一、借助“转化”求角度
例1 如图1， PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径。已知?P?40?，则?ACB的大小是( )
(A)60? (B)65? (C)70? (D)75?
解析 欲求?C，由AC为直径，得?ABC?90?，问题转化为求?CAB的度数。由
PA,PB为⊙O的切线，得PA?PB，PA?OA，只需求?PAB即可。由PA?PB,
?P?40?，得?PAB?70?
评注 本题还可以连结OB，利用切线性质，得到四边形AOBP对角互补，借助
?ACB??AOB转化求之。圆中求角度间题的关键是通过半径、直径、弧、弦、弦心距，
切线，圆心角，圆周角等之间的关系和相关知识得到关键角或弧，进而通过转换求得结果. 二、借助“变换”求角度
例2 如图2，?ABC中，?B?40?，D为BC上一点，?BAD?30?，AB?CD，求?C的度数.
解析 显然?C，?B同为?ABC的内角，易求?ADC?70?，条件中有AB?CD，却无公共端点，启发我们将CD作变换，如图3，即在边BC上取点E，使BE?CD，从而得到?AEB??EAB?70???ADE,?AD?AE且?ADB??AEC，又BD?CE，故?ADB??AEC，从而AB?AC，故?C??B?40?.
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评注 本题的关键是借助平移这一变换让AB?CD焕发活力.桥要一段一段的搭，题 也是要一步一步的做，切不可妄想一步到位.搭桥不容易，解题亦艰难，都是功夫.所谓功 夫，即是工夫，工夫到了，功夫也就出来了. 三、借助“构造”求角度
例3 如图4，AB?AC,AD?DE?EC?CB，求?C的度数. 解析 由AB?AC，得
?C??ABC?x,?E??DAE?2x.
如图4，以BD为底，AD长为腰作?BDF，连结AF,CF. 由AE?AC?BD?AB,AB?AC， 可得AE?BD， 则?ADE??BFD，
?FDB??FBD??DAE?2x， 所以DF//AC，?DFA??CAF。 由DA?DF，得?DFA??DAF, 故?DAF??CAF。
又AB?AC，故AF垂直平分BC，故BF?CF。 又BF?DF?AD?BC， 故?BCF为等边三角形， 所以?CBF?60?， 所以x?60?2x?180， 解得x?40，即?C为40?。
评注 本题没有已知的角度，但结合已知条件构造全等三角形或相似三角形，利用有关性质及判定定理，列出方程或比例式，再用代数方法就可求得所求角的度数.
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四、借助“分类”求角度
例4 如图5，在?ABC中，?DAC?2?DCA,?DCB?30?求?BD是AB边的中点，的度数
解析 固定A,C，通过分析知，?B的大小随着DC和AB的位置而确定.DC和AB的位置有两种情况：
第一种情况，如图5，显然?B?60?；
第二种情况，如图7，作DE?CB，垂足为E，作CD的垂直平分线FH，垂足为H，交AC于点F，连结DF.
则DF?DC,?FDC??DCA。 设?DCA??FDC?x，
则?DFA??A?2x,?BDC?3x， 所以DF?DA?DB。 在Rt?CDE中，
由?DCB?30?，得DE?又DH?1DC。 21DC，从而DE?DH， 2所以Rt?DBE?Rt?DFH，
所以?BDE??FDC?x， 又?EDC?60?，故x?3x?60， 解得x?15，
所以，?A?30?,?ACB?45?,?ABC?105?.
评注 本题看似简单，却很难入手，且容易因思考不全而造成漏解。关键是“情况不明
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需分类.”
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