【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题9 平面解析几何 71 双
曲线的几何性质 文
训练目标 理解双曲线的几何性质并能利用几何性质解决有关问题. 训练题型 (1)求离心率；(2)求渐近线方程；(3)几何性质的综合应用. 解题策略 (1)熟记相关公式；(2)要善于利用几何图形，数形结合解决离心率范围问题、渐近线夹角问题. x2y21．(2015·惠州第三次调研)设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则此
ab双曲线的离心率为________．
x2y2
2．(2015·山西四校联考)已知F1(－c,0)，F2(c,0)分别是双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)
ab的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x＋y＝c的一个交点为P，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，那么双曲线C1的离心率为________．
2
2
2
x2y2
3．已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是
4m________．
x2y2232
4．(2015·重庆质检)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为，且2a＝3c，若
ab3
→→→→
双曲线C上的点P满足PF1·PF2＝1，则|PF1|·|PF2|的值为________．
x2y2
5．(2015·黄山上学期第一次质检)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e∈[2，2]，
ab则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是________．
x2y2
6．已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在右支上存在点A使得点F2
ab到直线AF1的距离为2a，则离心率e的取值范围是________．
x2y2
7．双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线，
ab交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为________．
8．(2015·安徽江南十校联考)以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其
95左，右焦点分别是F1，F2，已知点M的坐标为(2,1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)满足
x2y2
PF1·MF1F2F1·MF1
|PF1|→
＝|F2F1|→
→→→→
，则S△PMF1－S△PMF2＝________.
y2x2
9．(2015·昆明二检)已知a>0，b>0，直线3x－4y＝0是双曲线S：2－2＝1的一条渐近线，
ab双曲线S的离心率为e，则
3e＋a2
b的最小值为________．
x2y2
10．(2015·荆门1月调研考试)设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作与xab轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原3→→→点，若OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，λ·μ＝，则双曲线的离心率为________．
16
x2y2
11．(2015·山东桓台第二中学1月检测)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别
abπ
为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲
6线的渐近线方程为____________．
12．(2015·浙江六校联考)已知点P是双曲线y－＝1上任意一点，过点P分别作两条渐
3近线的垂线，垂足分别为A，B，则AB的最小值为________．
5＋1xy13．(2015·淮北第一次模拟)称离心率为e＝的双曲线2－2＝1(a>0，b>0)为黄金双
2ab2
2
2
x2
x2y222
曲线，如图是双曲线2－2＝1(a>0，b>0，c＝a＋b)的图象，给出以下几个说法：
ab
①双曲线x－
2
2
2y2
＝1是黄金双曲线； 5＋1
②若b＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F1，F2为左、右焦点，A1，A2为左、右顶点，B1(0，b)，B2(0，－b)，且∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F2，且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为________．
x2y2
14．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1和F2，左，右顶点分别为A1和A2，过
ab→→→
焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若|PA1|是|F1F2|和|A1F2|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．
答案解析
1.
6
2.3＋1 3.(4，＋∞) 2
4．3
c22324
解析 依题意得，2＝()＝，
a33
322
∴a＝c，
4
又2a＝3c，∴c＝2， ∴a＝3，b＝1，
∴双曲线C的方程为－y＝1，
3→→
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2， 不妨令r1>r2>0，∠F1PF2＝θ， →→
∵PF1·PF2＝1，∴r1r2cos θ＝1， 又r1－r2＝23， ∴r1＋r2－2r1r2＝12， ∴r1＋r2＝2r1r2＋12，
又由余弦定理得4c＝r1＋r2－2r1r2cos θ， 即16＝2r1r2＋12－2， ∴r1r2＝3， →→
即|PF1|·|PF2|＝3. ππ5．[，]
43
解析 因为e∈[2，2]，所以2≤≤2，
2
2
2
2
2
2
22
x2
2
cac2a2＋b2
2≤2≤4,2≤2≤4， aab2b1≤2≤3,1≤≤ 3， aaππ得一条渐近线的倾斜角的取值范围为[，]．
436．(2，＋∞)
解析 不妨设点A在第一象限，直线AF1的斜率为k， 则k>0，此时直线AF1的方程为y＝k(x＋c)， 从而由
|2kc|1＋k2＝2a，得k＝ab，
由已知得直线y＝k(x＋c)与双曲线右支有交点， 故有a ＝c2 －a2 ， 也即2a2 ，即e2 >2， 又e>1，从而得e>2. 7.3 解析 如图，在 Rt△MF1F2中， ∠MF1F2＝30°. 又F1F2＝2c， 2c∴MF1＝ cos 30°＝43 c， 3 23 c. 3 MF2＝2c·tan 30°＝ 23 ∴2a＝MF1－MF2＝c. 3∴e＝＝3. 8．2 解析 双曲线方程为－＝1，PF1－PF2＝4， 45由 cax2y2 PF1·MF1F2F1·MF1 |PF1|→ ＝ |F2F1|→ →→→→ 可得 F1P·F1M|MF1||F1P|→ → →→ ＝ ，得F1M平分∠PF1F2. |MF1||F1F2|→ → F1F2·F1M→→ 又结合平面几何知识可得， △F1PF2的内心在直线x＝2上， 所以点M(2,1)就是△F1PF2的内心， 1 故S△PMF1－S△PMF2＝(PF1－PF2)×1 21 ＝×4×1＝2. 29.35 2 1＋ a3c解析 ＝，双曲线的离心率e＝＝ b4a故3e＋a2 ba2 ＝ 1＋ 43 2 5＝， 3 ba2＋53a2＋153a15＝＝＝＋≥2 44a44aa3 3a1535·＝， 44a2 3a15 当且仅当＝，即a＝5时等号成立． 44a2310. 3 解析 双曲线的渐近线为y＝±x， babcbcb2 设焦点F(c,0)，则A(c，)，B(c，－)，P(c，)， aaa
(江苏专用)高考数学专题9平面解析几何71双曲线的几何性质文
