第四章 习题
?500nC?(T)中运动，经过点(3,4,5)速度为 4-1、 电量为的点电荷，在磁场B?1.2z??2000y?m/s 。求电荷在该点所受的磁场力。 500x解：根据洛仑兹力公式
?????2000y?)?z?3?10?4?x?12?10?4N ?1.2??y F?qv?B?500?10?9?(500x??y?)3?10?4N ?(4x4-2、真空中边长为a的正方形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场。
解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。长为a的线电流I在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为
??I?0 B1?z2?a因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为
??4?0I? B?4B1?z 2?a
题4-2图 题4-3图
4-3、真空中边长为a的正三角形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场.
解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为b的点上的磁感应强度为
??I?0 B1?z?b??I?7.88?0 B?z?aaab2?()22
4-4、真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I。求半圆中心处的磁场。
IIa(a)a(b)bIa
(c)
题4-4 图
解：设垂直于纸面向内的方向为z方向。由例4-2知，半径为a的半圆中心处的磁场为
??I?0 B1?z4a（1）因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此
??I?0 B?z4a（2）由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a处的磁场为
??I?0 B2?z4?a因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和
??I?0(??2) B??z4?a（3）本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即
??I11?0(?) B?z4ab
4-5、 在真空中将一个半径为a的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。电流为I，
求半圆弧心处的磁场。
解：本题磁场为两相同半径但平面法线垂直的半圆环的磁场之和 B???0I4a??y?) (x?、y?分别为两半圆环平面的法向单位矢。 x
?114-6、 在氢原子中，电子绕半径为5.3?10m的圆轨道运动，速度为2200m/s，求圆
轨道的圆心点的磁场。
解：分子电流
vv2200?e??1.6?10?19?1.06?10?6A ?11L2?a6.28?5.3?10式中e为电子的电量，v为电子运动速度，L为圆轨道运动的周长。半径为a，电流强度为I的圆环电流在轴线上的磁场为
??0Ia2? B?z2(a2?z2)3/2 I?e?在圆心点的磁场为
?6I?71.06?10?2?2??10??2??10?1.256?10T B??112aa5.3?10?????4-7、对于以速度v运动的点电荷，证明B??0?0v?E，其中E为此点电荷产生的电场强
?0I?7度。
?解：以速度v运动的点电荷q，可以看成一电流元
??? Idl?JdV??vdV?qv
电流元的磁场为
??????0Idl?R?1??R??v?q???v B(r)?000?E 224?R4?R4-8、.半径为a的均匀带电圆盘上电荷密度为?0，圆盘绕其轴以角速度?旋转，求轴线上
任一点的磁感应强度。
???。在带电圆盘上解：带电圆盘绕其轴以角速度?旋转，其上电流密度为Js??sv??sr??取宽度为dr的小环，电流为dI??s?rdr，由例4-2知，在轴线上产生的磁场为
??0r2dI?0?s?r3dr?? dB?z ?z2(r2?z2)3/22(r2?z2)3/2旋转带电圆盘在轴线上产生的磁场为
a??? B?z0?0?s?r3dr2(r?z)223/2??z?0?s?a2?2z22[a?z22?2z]
??，如图所示，求磁感应强度。 4-9、宽度为w的导电平板上电流面密度为Js?J0yZwJXY
题4-9图
解：在空间取场点(x,z)，在导电平板上x'位置取宽度为dx'的细长电流，在场点产生的磁场为
??0dI?0J0dx'???????[(x?x')x??zz?] dB?yy222??2?[(x?x')?z]导电平板上的电流产生的总场为
???0J0W/2(x'?x)z???zxB??dB?dx' ?222??W/2(x'?x)?z?0J0(x?W/2)2?z2x?W/2x?W/2??ln ?{z?x2(arctg?arctg)} 222?zz(x?W/2)?z4-10、 计算半径为a、电流为I的电流圆环在其轴线z轴上产生的磁感应强度的线积分
?????dz。 ?B?z
解：半径为a，电流强度为I的圆环电流在轴线上的磁场为
? B???0Ia22(a?z)?223/2? z??dz? ?B?z??2(a?z)?????25yy??czz?；求：c 4-11、如果B?12xx?解： ??B?12?25?c?0， c??36
4-12、真空中半径为a的无限长导电圆筒上电流均匀分布，电流面密度为Js，沿轴向流动。求圆筒内外的磁场。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场
??0Ia2223/2dz
为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆筒做一半径为?的圆环，利用安培环路定律
?? ?B?dl??0I
l??相等，I?2?aJs，因此 在圆环上磁场B?B?? B???0I?0aJs ?2???
4-13、如果上题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外的磁场。
解：由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为 z方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形，长度为L，则
?? ?B?dl?BzL
l I?JsL 因此 Bz??0Js
题4-13图
??2?02，4-14、真空中一半径为a的无限长圆柱体中，电流沿轴向流动，电流分布为J?zJa求磁感应强度。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为?的圆环，利用安培环路定律
?? ?B?dl??0I
??左边 ?B?dl?B?2??
ll??J0?4;??a????2a2右边 I???J?dS?? 2?JaS?0;??a??2??0J0?3;??a??4a2因此有 B??? 2?Ja?00;??a??4?
4-15、在真空中，电流分布为
?0???a J?0
??? a???b J?z?b? ??b Js?J0z???b J?0
求磁感应强度。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此磁场可用安培环路定律计算。围绕z轴线做一半径为?的圆环，利用安培环路定律
?? ?B?dl??0I
ll??左边 ?B?dl?B?2??
??0;0???a33??2?(??a);a???b 右边 I??3b?33?2?(b?a)?2?bJ;??b0?3b?因此有
??0;0???a?23??0(??a) B???;a???b
3b??b3?a3??0(?bJ0)/?;??b?3b?
4-16、 在真空中，有一无限长、半径为10cm的圆柱导体内电流沿轴向流动，电流密度轴
??200e?0.5?A/m2，计算空间任意点的磁感应强度。 对称分布为J?z解：解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱
的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为?的圆环，利用安培环路定律
?? ?B?dl??0I
??左边 ?B?dl?B?2??
ll???右边 I???J?dS??200e?0.5?2??d?=
S0
电磁场与电磁波(西安交大第三版)第4章课后答案
