第1课时 数学归纳法
A．基础巩固
1．(2017年大连期末)用数学归纳法证明1＋a＋a＋…＋a验证当n＝1时，等式左边应为( )
A．1 C．1＋a＋a
2
2
n＋1
1－a*＝(a≠1，n∈N)，在
1－an＋2
B．1＋a D．1＋a＋a＋a
2
2
3
【答案】C 【解析】根据左边的等式特点，知当n＝1时，左边为1＋a＋a.故选C． 2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝( ) π
A．f(k)＋
23
C．f(k)＋π
2
B．f(k)＋π D．f(k)＋2π
【答案】B 【解析】因为凸k＋1边形比凸k边形多了一个顶点，所以内角和多了180°. 3．(2017年宣城期中)用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·3·…·(2n－1)”，当“n从k到k＋1”左端需增乘的代数式为( )
A．2k＋1 2k＋1C．
k＋1
B．2(2k＋1) 2k＋3D．
k＋1
n【答案】B 【解析】当n＝k时，左端＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(2k)，当n＝k＋1时，左端＝(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)，故当“n从k到k＋1”左端需增乘的代数式为2k＋1
2k＋2
k＋1
＝2(2k＋1)，故选B．
2
2
2
2
2
2
2
4．(2017年东莞期末)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝
n2n2＋1
3
时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( )
2
2
A．(k＋1)＋2k C．(k＋1)
2
2
B．(k＋1)＋k
12
D．(k＋1)[2(k＋1)＋1] 3
2
2
2
2
2
2
22
【答案】B 【解析】当n＝k时，左边＝1＋2＋…＋(k－1)＋k＋(k－1)＋…＋2＋1.当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋…＋(k－1)＋k＋(k＋1)＋k＋(k－1)＋…＋2＋1，比较两式，显然可得左边应增添的式子为(k＋1)＋k，故选B．
13an5．已知a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4，a5的值分别为__________，由此猜想an＝________.
2an＋3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
- 1 -
33133*
【答案】，，， (n∈N)
78310n＋513×233a13
【解析】a2＝＝＝＝，
a1＋3172＋5
＋32同理，a3＝猜想：an＝
3a2333333
＝＝，a4＝＝，a5＝＝， a2＋383＋594＋5105＋53*
(n∈N)． n＋5
6.(2024年大连双基训练)用数学归纳法证明“(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝
n(3n＋1)
2
”的第二步中，当n＝k＋1时，等式的左边与n＝k时等式的左边的差等于 .
【答案】3k＋2
【解析】[(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(k＋1＋k＋1)]－[(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)]＝(k＋k＋2)＋(k＋k＋1)－(k＋1)＝3k＋2.
7．(2017年凉山期末)已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝2(n∈N)且点P1
1－4an的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N，点Pn都在(1)中的直线l上． 【解析】(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.
*
bn*
b111
∴b2＝2＝，a2＝a1·b2＝. 1－4a133
?11?∴点P2的坐标为?，?
?33?
∴直线l的方程为2x＋y＝1.
(2)①当n＝1时，由(1)可得P1(1，－1)在直线l：2x＋y＝1上．
②假设n＝k(k∈N，k≥1)时，点Pk(ak，bk)在直线l上，即2ak＋bk＝1成立，
*
bkbk1－2ak则当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝＝＝1， 2·(2ak＋1)＝
1－4ak1－2ak1－2ak∴点Pk＋1(ak＋1，bk＋1)在直线l上，即当n＝k＋1时，命题也成立． 由①②知，对n∈N，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．
B．能力提升
*
?1?2?2?2?3?2?n?2
8．(2017年马鞍山校级期中)是否存在a，b，c使等式??＋??＋??＋…＋??＝
nnnn??
??
??
??
an2＋bn＋c*
对一切n∈N都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论． n
- 2 -
a＋b＋c＝1，??
【解析】取n＝1,2,3可得?8a＋4b＋2c＝5，
??27a＋9b＋3c＝14，
111
解得a＝，b＝，c＝.
326
1?2?2?2?3?2n?22n2＋3n＋1n＋12n＋1??下面用数学归纳法证明??＋??＋??＋…＋??＝＝， 6n6n?n??n??n??n?1222
即证1＋2＋…＋n＝n(n＋1)(2n＋1)．
6①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立．
1222
②假设n＝k时等式成立，即1＋2＋…＋k＝k(k＋1)(2k＋1)成立，
6
1122222
则当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k＋(k＋1)＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)＝
661122
[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)]＝(k＋1)(2k＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，
66
∴当n＝k＋1时等式成立．
由数学归纳法，综合①②可知当n∈N等式成立． 111
故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立．
326
*
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2024_2024学年高中数学第4讲数学归纳法证明不等式第1课时数学归纳法课后提能训练新人教A版选修
