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T42τ30°n30°10yδ30°化简（c）式得：c =γctgβ-2γ1 ctgβ 3
第二章 应力理论和应变理论
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为：
10Oxτxyx σx=ax+by，σy=cx+dy-γy ， τxy=-dx-ay；
试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。 解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件：
OA边：l1=-1 ；l2=0 ；Tx= γ1y ； Ty=0 则σx=-γ1y ； τxy=0
代入：σx=ax+by；τxy=-dx-ay 并注意此时：x=0 得：b=-γ1；a=0；
OB边：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0
βnβγxδ?1260???32—17.己知一点处的应力张量为6100?10Pa
????000??试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx=12×
3 10σy=10×103 τxy=6×103，且该点的主应力可由下式求得：
22?12?10???x??y?12?10??223?1.2????????xy????6??102?2??2??2???17.083?10333?11?37?10??11?6.0828??10??Pa?4.91724?103y题1-3O图?x??yγ1y??xcos???xysin??0则：?………………………………
?cos???sin??0y?yx（a）
将己知条件：σx= -γ1y ；τxy=-dx ； σy=cx+dy-γy代入（a）式得：
??B
Ay则显然：
?1?17.083?103Pa?2?4.917?103Pa?3?0
??1ycos??dxsin??0LLLLLLLLL?b??? ??dxcos??cx?dy??ysin??0LLLLLLLLLc??????化简（b）式得：d =γ1ctgβ；
2
σ1 与x轴正向的夹角为：（按材力公式计算）
tg2???2?xy?x??y??2???6??12???612?102sin2???
cos2??显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg（+6）=+80.5376°
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则：θ=+40.2688B40°16＇ 或（-139°44＇）
2—19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：
l22?1?l?1??21??l22?2?1?a?1?????b?2?ba?b22；
?1?a2?b2；?2?0；?3??a2?b2；
设σ2与三个坐标轴x、y、z的方向余弦为：l21、l22、l23，于是将方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向来。
babaa??同理l21?? l21??l22?l22??2222aa2?b2ba?ba?b于是主应力σ2的一组方向余弦为：（?aa?b22，mba?b22，0）；
?l21??x??2??l22?yx?l23?xz?l23?xz?0LLL?1????l21?yx?l22??y??2??l23?yz?l23?zy?0LLL?2? ???l21?zx?l22?zy?l23??z??2??l21?yx?l22?zy?0LLL?3?以及：l?l?l?1LLL?4?
221222223σ3的一组方向余弦为（?2—20.证明下列等式： （1）：J2=I2+证
明
2b2a2?b2，?2a2a2?b2，?2）； 2121：I2????ii?kk??ik?ik?； I1； （3）
321
）
：
等
式
的
右
端
为
：
（
由（1）（2）得：l23=0 由（3）得：将
以
上
结
2l21alb??；22??； l22bl21a4
）
2果代入
2（式分别得：
l21?1?l?1??22??l21??1?b?1?????a??aa?b2；
112I2?I12????1?2??2?3??3?1????1??2??3?
331???12??22??32?2?1?2?2?2?3?2?3?1????1?2??2?3??3?1? 324622???12??2??3???1?2??2?3??3?1????1?2??2?3??3?1??6662222?????????1?2??2?3??3?1? 123??6。
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1222222????2???????2???????2????112222333311?6?1222????1??2????2??3????3??1???J2
?6??故左端=右端 证明（3）：I2??右端=
1??ii?kk??ik?ik? 21?222?axy0ax?by????2??1222(2): ?ij??0axyaz?by?? ???2?1?12222??ax?by??az?by?0???2?2??c?x2?y2?zcxyz0???21222222cxyzcyz0? (3): ?ij?? ???x??y??z?2??xy??yz??zx????x??y??z???x??y??z??????2000????1222222222?????x??y??z?2??xy??yz??zx???x??y??z?2??x?y??y?z??z?x??2解（1）：由应变张量εij知：εxz=εyz=εzx=εzy=εz=0 而εx、εy、εxy及εyx又都是x、y坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。
将εx、εy、εxy代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：
1??ii?kk??ik?ik? 2
222????x?y??y?z??z?x??xy??yz??zx??I2
2—32：试说明下列应变状态是否可能（式中a、b、c均为常数）
?c?x2?y2?cxy0???2cxycy0? (1):?ij????000????22?2?x??y??xy 也即：2c+0=2c 知满足。 ?2??y2?x?x?y所以说，该应变状态是可能的。
解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：
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?????2?y?2?z?2?yz??2?2?z?y?y?z???2?z?2?x?2?zx??2?2??x?z?z?x??………………………………（1） ?2?x?????zx??xy??yz??????2?x??y?z?x??y?z??2???????????xyyzy???zx??2??y??z?x?y??z?x???2?z?????yz??zx??xy???????2?z??x?y?z??x?y??22?2?x??y??xy?2?2?y?x?x?y2cz?0?2cz?0?0?0???0?0? 不满足，因此该点的应变状态是不可能的。 2cy?2cy??2cx?0??第三章：弹性变形及其本构方程
3-10．直径为D=40mm的铝圆柱体，紧密地放入厚度为??2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P=40KN。若铝的弹性常数据E1=70Gpa.V1=0.35,钢的弹性常数E=210Gpa。试求筒内的周向应力。
P2ax?2ay?0?0?0?0??0?0?0?得：? 不满足，因此该应变状态是不可能的。 0?0?2b?0??0?0?解（3）：将己知应变分量代入上（1）式得： 解：设铝块受压?1??2??q 而?3??40?1031??42?10?44??100? Qσ1=σ2=qr则周向应变 D?铝? 1E铝?100????q?r?q??????????SQσZσα4欢迎下载 。 σ1Pσ2σ11=σ精品文档
1q?4?10?210q?钢??E钢2?0.2?10?2E钢
? (1) 式中：e为体积应变 e??x??y??z??1??2??3?I1由（1）式可知，物体的体积应变是由平均正力σm确定，由eij中的三
个正应力之和为令，以及（2）式知，应变偏量只引起形变，而与体变无关。这说明物体产生体变时，只能是平均正应力σm作用的结果，而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。
由单位体积的应变比能公式：uo?uov?uod?说明物体的体变只能是由球应力分量引起的。
当某一单元体处于纯剪切应力状态时：其弹性应变比能为：
∵ ?铝??钢 q=2.8MN/m2 钢套 ???qD?28MN/m2 2tqvqr?r? ； ??? ； ?z?0 ； ?r?E??1；
2tt31?m?m?sijeij；也可224-14.试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，并由纯剪状态说明
v=0。
证明：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。前者称为体变，后者称为形变。
并且可将一点的应力张量σij和应变张量εij分解为，球应力张量、球应变张量和偏应力张量、偏应变张量。
uo?uov?uod?0?121?v2?xy??xy 2GE由uo的正定性知：E>0，1+v>0.得：v>-1。
由于到目前为止还没有v<0的材料，所以，v必须大于零。即得：v>0。
3-16．给定单向拉伸曲线如图所示，εs、E、E′均为已知，当知道B点的
应变为ε时，试求该点的塑性应变。
解：由该材料的σ—ε曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：εB=ε=εe+εp 故：εp=ε-εe
??ij??m?ij?sij ??????emijij?ij而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。
通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用
球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：
???m?3k?m?keLLLLLL?1? ?s?2GeLLLLLL2???ij?ij????E???11???E??????E?s?E?????s?? ????e??e???EE。
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弹塑性力学习题题库加答案
