考点规范练48 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点规范练B册第33页
基础巩固
1.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2
+y2
=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0 答案:A
解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1).
因为直线2x+y+m=0与圆x2
+y2
=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为√5, 所以|??|√5=√5,即|m|=5.
故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.
2.(2019河北衡水中学高三下学期大联考)已知圆O2
2
1:x+y=4,圆O2
2
2
2:(x-3)+(y-4)=r(r>0),则“2 答案:B 解析:由于两圆相交的充要条件为3 3.已知圆C:x2 +y2 -2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以(????4,-4 )为中点的弦长为( A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D 解析:∵圆C:x2+y2 -2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称, ∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2), ∴3+2a-11=0,解得a=4, ) 1 ????22 ∴(4,-4)即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=√(1-1)+(-1+2)=1, 圆C:x+y-2x+4y=0的半径r=2√4+16=√5, ∴圆C中以(4,-4)为中点的弦长为2√??2-??2=2√5-1=4.故选D. 4.在圆x+y-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为2 2 22 1 ????( ) A.5√2 B.10√2 C.15√2 D.20√2 答案:B 解析:圆x2 +y2 -2x-6y=0变形为(x-1)2 +(y-3)2 =10. 则圆心为P(1,3),半径r=√10. 因为点E(0,1),所以|PE|=√12+(3-1)2 =√5. 过圆x2+y2 -2x-6y=0内点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,所以 |AC|=2r=2√10,|BD|=2√??2-|????|2 =2√10-5=2√5,且AC⊥BD,所以四边形ABCD的面积为S=11 2×|AC|×|BD|=2×2√10×2√5=10√2. 5.一束光线从点(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2 +(y-3)2 =1上的最短路程是 . 答案:4 解析:作出已知圆C关于x轴对称的圆C',如图所示. 则圆C'的方程为(x-2)2 +(y+3)2 =1,所以圆C'的圆心坐标为(2,-3),半径为1, 则最短距离d=|AC'|-r=√(-1-2)2+(1+3)2 -1=5-1=4. 6.过点P(1,√3)作圆x2+y2 =1的两条切线,切点分别为A,B,则????????????? ·????????????? = . 答案:3 2 2 解析:如图,∵OA=1,AP=√3, 又PA=PB,∴PB=√3. ∴∠APO=30°. ∴∠APB=60°. ∴????????????? ·????????????? =|????????????? ||????????????? |cos60°=√3×√3×2=2. 7.(2019河北廊坊省级示范高中联考)已知直线l:y=kx+2与圆C:(x-1)+(y-4)=10相交于A,B两点,若|AB|=6,则k= . 答案:4 解析:设点C(1,4)到直线l的距离为d,则d=√10-32=1.因为d=2 2 2 2 13 3 |??-2|√??2+1,所以|??-2|√??2+1=1,解得k=4. 3 8.(2019云南昆明调研)若过点(1,1)的直线与圆x+y-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为 . 答案:4 解析:由题意知,圆x+y-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r=×√36+16-16=3. 2 2 2 1 22 因为点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d=√(3-1)+(2-1)=√5,所以|AB|的最小值 |AB|min=2√??2-??2=2×√9-5=4. 9.已知圆C:x+(y-1)=5,直线l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=√17,求直线l的倾斜角. (1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1); 故直线l恒过定点P(1,1). 2 因为√12+(1-1)=1<√5, 2 2 3 所以点P(1,1)在已知圆C内,从而直线l与圆C总有两个不同的交点. |????|√3(2)解圆的半径r=√5,圆心C到直线l的距离为d=√??2-()=. 2 22由点到直线的距离公式得|-??|√??2+(-1)2 = √3, 2 解得m=±√3,故直线的斜率为±√3,从而直线l的倾斜角为3或 π2π3 . 10.(2019河北衡水中学高三模拟)已知圆C经过原点O(0,0)且与直线y=2x-8相切于点P(4,0). (1)求圆C的方程. (2)在圆C上是否存在两个点M,N关于直线y=kx-1对称,且以线段MN为直径的圆经过原点?若存在,写出直线MN的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)由已知,得圆心在经过点P(4,0)且与y=2x-8垂直的直线y=-2x+2上,它又在线段OP的中垂线x=2上,所以求得圆心C(2,1),半径为√5.所以圆C的方程为(x-2)+(y-1)=5. (2)假设存在两点M,N关于直线y=kx-1对称,则y=kx-1通过圆心C(2,1),求得k=1,所以设直线MN为y=-x+b,代入圆的方程得2x-(2b+2)x+b-2b=0,设M(x1,-x1+b),N(x2,-x2+b), 则????????????? ·????????????? =2x1x2-b(x1+x2)+b=b-3b=0,解得b=0或b=3,这时Δ>0,符合题意,所以存在直线MN为 2 22 2 2 2 1 y=-x或y=-x+3符合条件. 能力提升 11.(2019广西柳州高三模拟)已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)+(y+a)=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的取值为( ) A.-1或2 答案:B 解析:由题意可知△ABC为等腰直角三角形,∴圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d=sin= 4π √2,2 1 2 2 B.1或-1 C.2或-2 D.1 即|??-??-1|√1+??2= √2,整理得2 1+a=2,即a=1,解得a=-1或1,故选B. 2 2 22 12.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x+y=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|????????????? +????????????? |≥ √3|????????????? |,则3 k的取值范围是( ) 4 A.(√3,+∞) 答案:C B.[√2,+∞) C.[√2,2√2) D.[√3,2√2) 解析:设AB中点为D,则OD⊥AB, ∵|????????????? +????????????? |≥ √3√3|????????????? |,∴2|????????????? |≥|????????????? |, 33 ∴|????????????? |≤2√3|????????????? |. ∵|????????????? |+4|????????????? |=4,∴|????????????? |≥1. 2 2 2 1 ∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x+y=4交于不同的两点A,B,∴|????????????? |<4. ∴4>|????????????? |≥1,∴4>(2 222 |-??|√2)≥1. 2 ∵k>0,∴√2≤k<2√2,故选C. 13.已知点P(x,y)是直线y=-kx-4(k>0)上的一个动点,PA,PB是圆C:x+y-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的面积的最小值为2,则实数k的值为 . 答案:2 解析:根据题意画出图形,如图所示. 2 2 由题意得圆C:x+y-2y=0的圆心C(0,1),半径为r=1,由圆的性质可得S四边形PACB=2S△PBC,四边形PACB的面积的最小值为2,∴S△PBC的最小值S=1=2rd(d是切线长), ∴dmin=2,此时|CP|min=√5. ∵圆心到直线的距离就是PC的最小值, ∴ 5√1+??21 2 2 =√5,又k>0,∴k=2. 2 2 14.已知圆C:x+y+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程. 解:因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为±1或切线过原点. 5
2021高考数学大一轮复习考点规范练48直线与圆圆与圆的位置关系理新人教A版
