所以SOECD?SBDC?SBOE?SABD?SBOE??54?96??303?1195．
88 解法二：由于
SDOESAOD:SAOB?OD:OB?16:9，所以
SBOESAOD?54??S16?969，而
?SAOB?54，根据蝴蝶定理，
3， 8?SAOD?SAOBDOE，所以
SBOE?54?54?96?30所以SOECD?SBDC?SBOE?SABD?SBOE??54?96??303?1195．
88
【例 23】
如图，?ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形DEFG的面积48，则?BKD的面积是多少？ AK:KB?1:3，
DKBEFCBEAGDKAG 【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯
形ADBC中，?BDK和?ACK的面积是相等的．而AK:KB?1:3，所以?ACK的
面积是?ABC面积的
111?，那么?BDK的面积也是?ABC面积的． 1?344MFC由于?ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM?DE，可见?ABM和?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以?ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48． 那么?BDK的面积为48?1?12．
4
【例 24】
如图所示，ABCD是梯形，?ADE面积是1.8，?ABF的面积是9，?BCF的面积是27．那么阴影?AEC面积是多少？
AEFD
【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到S?AFB?S?DFC?S?AFD?S?BFC，而S?AFB?S?DFC(等积变
换)，所以可得S?AFD?S?AFB?S?CDFS?BFC?9?9?3， 27BC并且S?AEF?S?ADF?S?AED?3?1.8?1.2，而S?AFB:S?BFC?AF:FC?9:27?1:3， 所以阴影?AEC的面积是：S?AEC?S?AEF?4?1.2?4?4.8．
【例 25】
如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？
【最新整理，下载后即可编辑】
2124421
【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的
特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中
八份，所以阴影部分的面积
【例 26】
288?6?． 183如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？
A③①④F⑥②⑤
【解析】 因为E是DC中点，F为AC中点，有AD?2FE且平行于AD，则四边形ADEF为梯形．在梯形ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=AD2： FE2=4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6?(4?1)?2，②=⑤?4?8，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8?4?4?2?18．有CEF与ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1:4．所以
3BDECADC面积为梯形ADEF面积的
4=4，4-13即为18?4?24．因为D是BC中点，所以
ABD与ADC的面积相等，而ABC的面积为ABD、ADC的面积和，即为24?24?48平方厘米．三角形ABC的面积为48平方厘米．
【例 27】 如图，在一个边长为
6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保
持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ．
【最新整理，下载后即可编辑】
【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速
求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况．
解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6?1.5?2?4?2?2?22，阴影部分的面积为6?6?22?14．
解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2:6?1:3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为
所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的12:1?3:1?3:32?1:3:3:9，
阴影部分的面积占该梯形面积的
【例 28】
9，167，所以阴影部分的总面积是四个梯16形面积之和的7，那么阴影部分的面积为7?(62?22)?14．
1616如图，在正方形ABCD中，且CE?2BE，CF?2DF，E、F分别在BC与CD上，
连接BF、相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，DE，
设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2?___________．
AQDFMGNMGAQDFN 【解析】 连接BD、EF．设正方形ABCD边长为3，则CE?CF?2，BE?DF?1，所以，
因为EF2?BD2?8?18?144?122，所以EF?BD?12．由EF2?22?22?8，BD2?32?32?18．
梯形蝴蝶定理，得
S△GEF:S△GBD:S△DGF:SnBGE?EF2:BD2:EF?BD:EF?BD?8:18:12:12?4:9:6:6，
所以，S△BGE?66S△CEF?2?2?2?2，因为S△BCD?3?3?2?9， S梯形BDFE?S梯形BDFE．
4?9?6?6252BEPCBEPC【最新整理，下载后即可编辑】
所以S梯形BDFE?S△BCD?S△CEF?5，所以，S△BGE?269?， 55653??． 252555由于△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以CN?3?2?1?6，
ND?3?所以AM:CN?DN:CN?3:2，则S1:S2?AM2:CN2?9:4．
【例 29】
如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD?2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米．
AENDCDMBFENCAMBF
【解析】 连接EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶
定理，可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积．
设梯形ABCD的上底为a，总面积为S．则下底为2a，EF?1?a?2a??3a．
22所以AB:EF?a:3a?2:3，EF:DC?3a:2a?3:4．
22由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，所以
3??3??S梯形ABFE:S梯形EFCD??AB?EF?:?EF?DC???a?a?:?a?2a??5:7，
2??2??故S梯形ABFE?5S，S梯形EFCD?7S．
1212根据梯形蝴蝶定理，梯形
22:2?3:2?3:32?4:6:6:9，所以SEMFABFE内各三角形的面积之比为
9953S梯形ABFE??S?S；
4?6?6?92512209973同理可得SENF?S梯形EFCD??S?S，
9?12?12?16491228所以SEMFN?SEMF?SENF?3S?3S?9S，由于SEMFN?54平方厘米，
202835所以S?54?9?210(平方厘米)．
35?
【例 30】
(2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m，那么，(m?n)n的值等于 ．
【最新整理，下载后即可编辑】
AHDAHDEGEG
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观
察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．
如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．
左图中AEGD为长方形，可知?AMD的面积为长方形AEGD面积的1，所以
4BFCBFC三角形AMD的面积为12?1?1?1．又左图中四个空白三角形的面积是相
248等的，所以左图中阴影部分的面积为1?1?4?1．
82AHDAHDMEGENGBFCBFC如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N． 可知EF∥AC且AC?2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1，
4
所以三角形BEF 的面积为12?1?1?1，梯形AEFC的面积为1?1?3．
248288在梯形AEFC中，由于EF:AC?1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：12:1?2:1?2:22?1:2:2:4，所以三角形EFN的面积为3?那么四边形BENF的面积为1?11，?81?2?2?42411?．而右图中四个空白四边形的面积是8246相等的，所以右图中阴影部分的面积为1?1?4?1．
63那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1:1?3:2，即
23m3?， n2那么m?n?3?2?5。
【最新整理，下载后即可编辑】
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)(完整资料).doc
