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小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)(完整资料).doc

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【解析】 做辅助线如下:利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其

面积正好等于三角形1和三角形3,所以1的面积就是36?的面积就是36?

【例 16】 如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点.求图中阴

4?16,34?55?20. 4?5影部分的面积.

BCGAD

【解析】 因为M是AD边上的中点,所以AM:BC?1:2,根据梯形蝴蝶定理可以知道

S△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG?12(:1?2)(:1?2):22?1:2:2:4,设S△AGM?1份,则S△MCD?1?2?3 份,所以正方形的面积为1?2?2?4?3?12份,S阴影?2?2?4份,所以S阴影:S正方形?1:3,所以S阴影?1平方厘米.

【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三

角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是 平方厘米.

ADMF

(1?2)?9(平方【解析】 连接DE,根据题意可知BE:AD?1:2,根据蝴蝶定理得S?厘米),S△ECD?3(平方厘米),那么SABCD?12(平方厘米).

【例 17】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,E,F是DC边上的三等分点,

求阴影部分的面积.

2梯形BEC【最新整理,下载后即可编辑】

ABODEFC

【解析】 因为E,F是DC边上的三等分点,所以EF:AB?1:3,设S△OEF?1份,根据梯

形蝴蝶定理可以知道S△AOE?S△OFB?3份,S△AOB?9份,S△ADE?S△BCF?(1?3)份,因此正方形的面积为4?4?(1?3)2?24份,S阴影?6,所以S阴影:S正方形?6:24?1:4,所以S阴影?3平方厘米.

【例 18】 如图,在长方形ABCD中,AB?6厘米,AD?2厘米,AE?EF?FB,求阴

影部分的面积.

AEODCDFBAEOCFB

【解析】 方法一:如图,连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个部分,其中三

角形AED的面积为2?6?3?2?2平方厘米.

由于EF:DC?1:3,根据梯形蝴蝶定理,SDEO:SEFO?3:1,所以SDEO?3SDEF,

4而SDEF?SADE?2平方厘米,所以SDEO?3?2?1.5平方厘米,阴影部分的面积

4为2?1.5?3.5平方厘米.

方法二:如图,连接DE,FC,由于EF:DC?1:3,设S△OEF?1份,根据梯形

?(1?3)?16份,S△ADE?S△BCF?1?3?4份,因此蝴蝶定理,S△OED?3 份,SS长方形ABCD?4?16?4?24份,S阴影?4?3?7份,而S长方形ABCD?6?2?12平方厘米,所以S阴影?3.5平方厘米

2梯形EFCD

【例 19】

(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形,

BC:CE?3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.

AODAODBCEBCE

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【解析】 连接AC.

由于ABCD是平行四边形,BC:CE?3:2,所以CE:AD?2:3,

根据梯形蝴蝶定理,SCOE:SAOC:SDOE:SAOD?22:2?3:2?3:32?4:6:6:9,所以SAOC?6(平方厘米),SAOD?9(平方厘米),又SABC?SACD?6?9?15(平方厘米),阴影部分面积为6?15?21(平方厘米).

【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示

(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.

A9214B【分析】 连接AE.

DA921O4CEDE

BC

由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么S?OCD?S?OAE.

根据蝴蝶定理,S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?4?9?36,故S?OCD2?36, 所以S?OCD?6(平方厘米).

【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已

知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.

A8162B【解析】 连接AE.

DA816O2CBEDEC

由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么S?OCD?S?OAE.

根据蝴蝶定理,S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?2?8?16,故S?OCD2?16,所以S?OCD?4(平方厘米).

另解:在平行四边形ABED中,S?ADE?1S2ABED1???16?8??12(平方厘米), 2所以S?AOE?S?ADE?S?AOD?12?8?4(平方厘米),

根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为8?2?4?4(平方厘米).

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【例 20】

如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,?DEF的面积是5平方厘米,?CED的面积是10平方厘米.问:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?

AF5E10DAF5E10D

【分析】 连接BF,根据梯形模型,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相

等,即其面积也是10平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为10?10?5?20(平方厘米),所以长方形的面积为?20?10??2?60(平方厘米).四边形ABEF的面积为60?5?10?20?25(平方厘米).

【巩固】如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,?DEF的面积是4平方

厘米,?CED的面积是6平方厘米.问:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?

AF4EB6DAF4ECB6DBCBC

【解析】 (法1)连接BF,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形BEF的

面积和三角形DEC的面积相等,即其面积也是6平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为6?6?4?9(平方厘米),所以长方形的面积为?9?6??2?30(平方厘米).四边形ABEF的面积为30?4?6?9?11(平方厘米).

(法2)由题意可知,EF?4?2,根据相似三角形性质,ED?EF?2,所以

EC63EBEC3C三角形BCE的面积为:6?2?9(平方厘米).则三角形CBD面积为15平方

3厘米,长方形面积为15?2?30(平方厘米).四边形30?4?6?9?11(平方厘米).

ABEF的面积为

【巩固】(98迎春杯初赛)如图,ABCD长方形中,阴影部分是直角三角形且面

积为54,OD的长是16,OB 的长是9.那么四边形OECD的面积是多少?

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AOBEDC【解析】 因为连接ED知道△ABO和△EDO的面积相等即为54,又因为OD∶OB=16∶9,

所以△AOD的面积为54?9?16?96,根据四边形的对角线性质知道:△BEO的面积为:54?54?96?30.375,所以四边形OECD的面积为:54?96?30.375?119.625(平方厘米).

【例 21】

(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米.

AE25O8DCD?5FBAE2O8C?FB

【解析】 连接DE、CF.四边形EDCF为梯形,所以S?EOD?SFOC,又根据蝴蝶定理,

S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD,所以S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD?2?8?16,所以S?EOD?4(平方厘米),S?ECD?4?8?12(平方厘米).那么长方形ABCD的面积为12?2?24平方厘米,四边形OFBC的面积为24?5?2?8?9(平方厘米).

【例 22】 (98迎春杯初赛)如图,长方形ABCD中,AOB是直角三角形且面积为54,

OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是 .

ADADOOEE 【解析】 解法一:连接DE,依题意SAOB?1?BO?AO?1?9?AO?54,所以AO?12,

22BCBC则SAOD?1?DO?AO?1?16?12?96.

22又因为SAOB?SDOE?54?1?16?OE,所以OE?63,

24得SBOE?1?BO?EO?1?9?63?303,

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小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)(完整资料).doc

123123【解析】做辅助线如下:利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形1和三角形3,所以1的面积就是36?的面积就是36?【例16】如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点.求图中阴4?16,34?55?20.4?5影部分的面积.BC
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