第四课时3.1.3空间向量的数量积运算
教学要求：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质
和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.
教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程：
一、复习引入
1.复习平面向量数量积定义：
2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积. 二、新课讲授
1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间
uuuruuur中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．
说明：⑴规定：0?＜a，b＞??． 当＜a、b＞＝０时，a与b同向； 当＜a、b＞＝π时，a与b反向； 当＜a、b＞＝
?时，称a与b垂直，记a⊥b． 2⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．
⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的． ②＜a,b＞?(a,b)
2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cos＜a,b＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；
⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
uuur几何意义：已知向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射
uuuuuruuur影A′，点B在l上的射影B′，则A'B'叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简
uuur称射影．可以证明：A'B'＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．
3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：
⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞； ⑵a⊥b?a·b＝０
⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜； 当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.
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特别地，a·a＝｜a｜或｜a｜＝a?a?a2. ⑷cos＜a,b＞＝
a?b; ⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. a?b4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律： ⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)； ⑵ a·b＝b·a (交换律)； ⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律)
说明：⑴(a·b)c≠a（b·с）；⑵有如下常用性质：a＝｜a｜，(a＋b)＝a＋２a·b＋b 2
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5. 教学例题：课本P98例2、例3（略）
三、巩固练习 作业：课本P101 例4
高中数学《空间向量及其运算-数量积运算》教案7 新人教A版选修2-1
