二○○一年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次．
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．
1．已知a为给定的实数，那么集合M={x| x-3x-a+2=0，x∈R}的子集的个数为
（A）
1
（B）
2
（C）
4
（D）
不确定 【答】（ C
2
2
2
2
2
）
【解】 方程x-3x-a+2=0的根的判别式Δ=1+4a>0，方程有两个不相等的实数根．由M有2个元素，得集合M有2=4个子集．
2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;
命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有
2
（A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D） 3个
【答】（ B
【解】 只有命题1对．
3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以?为周期、在(0，上单调递增的偶函数是
（A）y=sin|x|
（B）y=cos|x| （C）y=|ctgx|
（D）y=lg|sinx|
【答】（ D
） ）
?)2【解】 y=sin|x|不是周期函数．y=cos|x|=cosx以2?为周期．y=|ctgx|在（0，
?）上单调递减．只有y=lg|sinx|满足全部条件． 24．如果满足∠ABC=60°，AC=12， BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是
（A） k=83 （B）0 【答】（ D 【解】 根据题设，△ABC k 60° B A C ） k 共有两类如图． C 12 12 B 60° A 易得k=83或0 则a0?a3?a6?a9???a1998的值为 （A）3 （B） 3666 （C） 3999 （D） 32001 【答】（ C ） 【解】 令x=1可得31000=a0?a1?a2?a3???a2000； 232000令x=?可得0=a0?a1??a2??a3????a2000?； 32（其中???1?3i，则?=1且?+?+1=0） 2224640002令x=?可得0=a0?a1??a2??a3????a2000?． 以上三式相加可得31000=3（a0?a3?a6?a9???a1998）． 999所以a0?a3?a6?a9???a1998=3． 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）． （A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定 【答】（ A 【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为x、y元/枝． ） 1则6x+3y>24,4x+5y<22.令6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=1(5a?3b),y=(3b?2a). 91811所以2x-3y=(11a?12b)?(11?24?12?22)=0，即2x>3y． 99也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上． 7．椭圆??231的短轴长等于． 32?cos?23213【解】 ?(0)?a?c?1,?(?)?a?c?1.故a?,c??b?．从而2b?． 333338．若复数z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z2= 33072?i，则z1·z2=??i． 21313【解】 由3z1-2z2=z2?z2?z1?1311z1?z1?z2=z1z2(2z2?3z1) 263?i6(3z?2z)6(3z?2z)307212122可得z1z2????6????i．本题也可设三角形式 313132z2?3z12z2?3z1?i2进行运算． 9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是【解】 作正方体的截面BB1D1D，则A1C1⊥面BB1D1D．设A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为垂足，则OH为A1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半，即OH= 6． 6 B1 O H D 1 A 1 C 1 6． 6A B D C 21310. 不等式?2?的解集为(0,1)?(1,27)?(4,??)． log1x22【解】 131313?2?或?2??． ?2?等价于 log1x2log1x2log1x2222即 1711??． ??或 2log1x2log1x22此时log1x??2或log1x?0或?222?log1x?0． 27∴解为x >4或0 11．函数y?x?x2?3x?2的值域为[1,)?[2,??)． 22732【解】 y?x?x2?3x?2?x2?3x?2?y?x?0． 2y?23两边平方得(2y?3)x?y2?2，从而y?且x?． 2y?32y2?2y2?3y?23?0??0?1?y?或y?2． 由y?x?y?2y?32y?32y2?2任取y?2，令x?，易知x?2，于是x2?3x?2?0且y?x?x2?3x?2． 2y?3y2?23任取1?y?，同样令x?，易知x?1， 2y?32于是x2?3x?2?0且y?x?x2?3x?2． 3因此，所求函数的值域为[1,)?[2,??)． 212． 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 732 种栽种方案． F E A B C D 【解】 考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法． 考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A、C、E种三种植物，此时共有P4×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法． 3 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1=a1，b2=a2，b3=a3（a1 n???2 2 2 lim(b1?b2???bn)?2?1．试求{an}的首项与公差． 【解】 设所求公差为d，∵a1 a12(a1+2d)2=(a1+d)4 化简得2a1+4a1d+d=0 解得d=(?2?2) a1.………………………………………………………………5分 而?2?2<0，故a1<0． 2a2若d=(?2?2) a1，则q?2?(2?1)2； a12a2若d=(?2?2)a1，则q?2?(2?1)2；…………………………………………10分 a12 2 但lim(b1?b2???bn)?2?1存在，故|q|<1．于是q?(2?1)2不可能． n???从而 a121?(2?1)2?2?1?a12?(22?2)(2?1)?2． 所以a1=?2，d=(?2?2) a1=(?2?2)(?2)=22?2．……………………20分 x22214．设曲线C1：2?y?1（a为正常数）与C2：y=2（x+m） 在x轴上方仅有一个 a公共点P． ⑴ 求实数m的取值范围（用a表示）； ⑵ O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0 1时，试求ΔOAP的面积的最大2
2020年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版 精品
