三角函数题解题策略
解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：
一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中
例1、如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， AC?22，BC=1，那么sin∠ABD的值是 ．
评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。
二、用直径与所对圆周角构造直角三角形
例2、如图2，已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，那么
C B D 图1 C P A O D ? B A O CD等于 AB1
tan? A．sinα B．COSα C．tanα D．
图2 评注：直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三角
B 形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直
径所对圆周角。
三、用切线与半径的关系构造直角三角形
例3、 如图3，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，O 过O作OH?AC于点H．若OH?2，AB?12，BO?13． 求：（1）⊙O的半径；
A C H （2）sin∠OAC的值；
（3）弦AC的长（结果保留两个有效数字）． A 图3 评注：根据切线的意义，可知，切线垂直于经过切点的半径。借
F 此，可得直角三角形，从而可以运用三角函数解决有关问题。 D G 四、转化条件中的垂直关系构造直角三角形
例4、如图4，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O 交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。 C E O B (1)求证：直线EF是⊙O的切线； (2)求sin∠E的值。 图4
评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.
（2013武汉中考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是AB的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC?3AP； （2）如图②，若sin?BPC?
APOB?24，求tan?PAB的值． 25APOCB第22题图①C第22题图②A 例1.。如图，Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=4， BC=2,
以AB上的一点0为圆心作⊙O分别与AC．BC相切于点D，E。 (1)求⊙O的半径。
(2)求sin ∠BOC的值。
【例2】如图，等腰△ABC中，AB=A C，以AB为直径作⊙O， 交BC于点D，DE⊥AC于点E。 C (1)求证：DE为⊙O的切线： (2)若BC=45，AE=1，求cos ∠AEO的值。
O D B E C D B
E
O A
●专练
1、如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点D为圆心， OA为半径的⊙O与EC相切于点D，AD∥BC.
C (l)求证： ∠E=∠ACB:
2 (2)若AD=1, tan∠DAC=，求BC的长．
2
D O
E A B
2、如图，已知点0是Rt△ABC的直角边AC上一动点，以D为圆心，OA为半径的⊙O交AB于D点， DB的垂直平分线交BC于F,交BD于E。
(l)连结DF，请你判断直线DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论 (2)当点D运动到OA=2OC时，恰好有点D是AE的中点，求tan∠B。 A D E O
C B F
3、如图，在△ABC中．AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D．过D 作DF⊥BC,交AB的延长线于点E,垂足为F . C (1)求证；直线DE是⊙O的切线；
D (2) 当AB=5，AC=8时，求cos∠E的值．
F A E B O
4、如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，BD平分 ∠ABC，以AB上一点0为圆心， 过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点E EF⊥AC于点F。 (1)求证：⊙O与AC相切：
(2)若EF=2，BC =4，求tan∠A的值。
E O
F A D C
5、如图， △ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于点C，在弧AC上取一点F，使弧CF=弧CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D。 M P (1)求证：CD为⊙O的切线。
C (2)连BF交AP于B若BE=6，EF=2．求tan ∠FAE。
E D
E
A B O
（三角函数与相似）6、如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处。 （1）如图①，若折痕AE=55且tan?EFC?3，求矩形ABCD的周长； 4 （2）如图②，在AD边上截取DG=CF，连接CG、BD，相交于点H，求证：BD⊥GE.
A D G D A
H
E E
F C F C B B
中考数学三角函数解题策略
