《立体几何初步》练习题
一、 选择题
1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A、垂直 B、平行 C、相交不垂直 D、不确定 2. 在正方体ABCD?A1B1C1D1中, 与A1C垂直的是（ ）
A. BD B. CD C. BC D. CC1
3、线m,n和平面?、?，能得出???的一个条件是( )
A.m?n,m//?,n//? B.m⊥n,?∩?=m,n?? C.m//n,n??,m?? D.m//n,m??,n?? 4、平面?与平面?平行的条件可以是（ ）
A.?内有无穷多条直线与?平行； B.直线a//?,a//?
C.直线a??,直线b??,且a//?,b//? D.?内的任何直线都与?平行 5、设m、n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m??，n//?，则m?n ②若?//?，?//?，m??，则m?? ③若m//?，n//?，则m//n ④若???，???，则?//?
其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④
6.点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O,若PA=PB=PC，
则点O是ΔABC的（ ）
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
7. 若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，
则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若?//?,l??,n??，则l//n B．若???,l??，则l?? C. 若l??,l//?，则??? D．若l?n,m?n，则l//m
8. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（ ）
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. A.3 B.2 C.1 D.0 9．（2013浙江卷）设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,
A．若m∥α,n∥α,则m∥n
B．若m∥α,m∥β,则α∥β
）
（C．若m∥n,m⊥α,则n⊥α D．若m∥α,α⊥β,则m⊥β
（ ）
10．（2013广东卷）设l为直线,?,?是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A．若l//?,l//?,则?//? C．若l??,l//?,则?//?
B．若l??,l??,则?//? D．若???,l//?,则l??
二、填空题
11、在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B—B1EF的体积为 .
12．对于空间四边形ABCD，给出下列四个命题：①若AB=AC，BD=CD则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD则BC⊥AD；④若AB⊥CD， BD⊥AC则BC⊥AD；其中真命题序号是 ．
13. 已知直线b//平面?，平面?//平面?，则直线b与?的位置关系
P
为 .
14. 如图，△ABC是直角三角形，?ACB=90?，PA?平面ABC，此图形
C A 中有 个直角三角形
B 三、解答题
15.如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC 求证：AB⊥BC P
A C
B
A F 16.如图，ABCD和ABEF都是正方形，M?AC，且，N?FBAM?FN。 D求证：MN//平面BCE。
17.如图，P为?ABC所在平面外一点，PA?平面ABC，
FMNBECP?ABC?90?，AE?PB于E，AF?PC于F 求证：（1）BC?平面PAB；
（2）平面AEF?平面PBC； （3）PC?EF．
AECB
18、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO?底面ABCD，E是PC的中点。 求证：（1）PA∥平面BDE ；（2）平面PAC?平面BDE.[来源:Zxxk.Com]
19、如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，点P为DD1的中点。求证：
（1）直线BD1∥平面PAC；（2）平面PAC?平面BDD1； （3）直线PB1?平面PAC.
20．如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中AC=3，
AB=5，CB?4,AA1?4,点D是AB的中点.
（Ⅰ）求证：AC?BC1（Ⅱ）求证：AC1//平面CDB1； （Ⅲ）求三棱锥A1—B1CD的体积.
C
C1D1B1A1PDBA
21．如图，在几何体ABCDE中，AB = AD = 2，AB丄AD,AE
丄平面ABD,M为线段BD的中点， MC//AE,且AE = MC =2
（I）求证:平面BCD丄平面CDE； （II）若N为线段DE的中点, 求证:平面AMN//平面BEC．
22．（2013年北京卷）如图,在四棱锥P?ABCD中
AB//CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底面ABCD,PA?AD,E和F分别是CD和PC的中点, 求证: (1) PA?底面ABCD; (2) BE//平面PAD;
(3)平面BEF?平面PCD
23．（2013年山东卷）如图,四棱锥P?ABCD中,AB?AC,AB?PA,AB∥CD,AB?2CD,
E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点
求证: (Ⅰ) CE∥平面PAD;
(Ⅱ)求证:平面EFG?平面EMN
?ABC??BAD?90，24．（2013年大纲卷）如图,四棱锥P?ABCD中，BC?2AD
?PAB与?PAD都是边长为2的等边三角形.
(I)证明:PB?CD;
(II)求点A到平面PCD的距离.
参考答案
选择题：AACDA,BCCCB 填空题：11、
1 12、①④ 13、b//?或b?? 14、4 3解答题：15、作AD?PB, 16、
作MG//AB交CB于G,NH//EF交BE于H,连接GH,证明四边形MGHN是平行四边形
17、（2）证AE?平面PBC（3）证PC?平面AEF 18、（1）连接OE,OE//PA,(2)证BD?平面PAC 19、(1)设ACBD?O,连接OP,OP//BD1,(2)证AC?平面BDD1
(3) 由AC?平面BDD1得AC?B1P,计算可以得到?B1PO?90,B1P?PO 20、（1）AC?平面BB1C1C(2) (1)设B1CBC1?O,连接OD,OD//AC1
(3)
VA1?B1CD?VC?A1DB1?8,
21、（1）计算得?BCD?90,BC?CD,?BCE?90,BC?CE,BC?平面CDE (2) AM//EC,MN//BE
22、 (I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于两平面的交线AD
所以PA垂直底面ABCD.
(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点 所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED为平行四边形,
所以BE∥AD,又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD 所以BE∥平面PAD.
(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形 所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
23、（1）取PA中点H，连接EH、DH,证明四边形CEHD是平行四边形
或者连接CF，证明平面ECF//平面PAD
（2）证AB?平面EFG,MN//CD//AB,所以MN?平面EFG,
24、
(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形. 过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE. 由?PAB和?PAD都是等边三角形知PA=PB=PD, 所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, 故OE?BD,从而PB?OE. 因为O是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE//CD.因此,PB?CD.
(Ⅱ)解:取PD的中点F,连结OF,则OF//PB. 由(Ⅰ)知,PB?CD,故OF?CD.
1又OD?BD?2,OP?PD2?OD2?2, 2故?POD为等腰三角形,因此,OF?PD. 又PDCD?D,所以OF?平面PCD.
因为AE//CD,CD?平面PCD,AE?平面PCD,所以AE//平面PCD.
1因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而OF?PB?1,
2所以A至平面PCD的距离为1.
高一必修二立体几何练习题（含答案）
