考
试
时
间
1
2
0
分
钟
班级姓名学号
一
题号 成绩 成绩
二 (1)
二(2)
二(3)
二 (4)
二 (5)
三
四
五
总分
评卷人
一 .填空题（ 每题 3 分，共 24 分）
1．设 A 、 B 为随机事件，
P (A)=0.5 ， P(B)=0.6 ， P(B A)=0.8 .则 P(B U A) .
1/5、 1/4、 1/3，此密码能被译出的概率是
2.三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 3.设随机变量 4.设随机变量 5.设 D(X )
=.
X : X :
( , ( ,
22
)，Y
eX ，则 Y 的分布密度函数为 .
) ，且二次方程 y 2 4 y X
0 无实根的概率等于，则 Y) =.
.
16, D(Y)
25， XY 0.3 ，则 D(X
6.掷硬币 n 次，正面出现次数的数学期望为. 钉
重
量
不
超
7.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，
其期望是 1 两，标准差是两 .则 100 斤
个该型号螺丝
似
过
的
概
率
近 为
（答案用标准正态分布函数表示）. 8.设 X1, X2 ,L
X5 是来自总体 X :
X 42
(0,1) 的简单随机样本，统计量
C(X1
X2) / X32
X52 ~ t (n) ，则常数 C =,自由度 n .
二 计算题 （共 50 分） 1.（ 10 分）设袋中有
成绩
评卷人
m 只正品硬币，
n 只次品硬币 ( 次品硬币的两面均有国徽
) ，从
袋中任取一只硬币，将它投掷 是多少？
r 次，已知每次都得到国徽
.问这只硬币是正品的概率
成绩
评卷人
2.（ 10 分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计） 率密度函数为
X 服从指数分布，其概
某顾客在窗口等待服务， 务而离开窗口的次数，写出
成绩
若超过 10 分钟，他就离开 .他一个月到银行
5 次 .以 Y 表示一个月内他未等到服
Y 的分布律，并求 P{Y 1} .
评卷人
3.（ 10 分）设二维随机变量 的对角线为坐标轴，求：
( X , Y) 在边长为 a 的正方形内服从均匀分布，该正方形
(1) 求随机变量 X ,Y 的边缘概率密度； (2) 求条件概率密度 .
成绩
f X |Y (x | y) .
评卷人
4.（ 10 分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从 取四只， 求其中没有一只寿命小于
(160,20 2 ) 分布，随机的选
180 小时的概率 （答案用标准正态分布函数表示）.
成绩
评卷人
5.（ 10 分）某车间生产的圆盘其直径在区间
( a, b) 服从均匀分布 ,试求圆盘面积的数
成绩
评卷人
学期望 .
分）设 X1, X 2,L X n 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为 三.（10 其中
, 0 是未知参数， x1, x2 ,L , xn 是一组样本值，求：
, 的矩法估计；
（ 2） , 的极大似然估计 .
（ 1）
成绩
评卷人
四 .（ 8 分）假设 是 的无偏估计，且有计 .
?
D (
?
) 0试证
( ) 2 不是 2 的无偏估
1
?2
2?
成绩
评卷人
五（. 8 分）设 X1, X2 ,L
, X n 是来自总体 X~N(
,
1
1 ) 的一组样本， Y1, Y2 ,L , Yn
2
2
2
是来自总体 Y ~ N( 2,
2 1
2
2
2
) 的
22
一组样本，两组样本独立
.其样本方差分别为 S1 , S2 ，且设
2 ，显着性水平
1 2
,,
221 , 2
均为未知 .欲检验假设
H0: 1
2，H1:
事先给定 .试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点
由分位点给出） .
评分标准
一：填空题 :( 每小题 3 分 ) 1. 0.7;
1/( 2 y).exp{
1/(2 2 ).[ln y ]2 } y 0
(2) 3/ 2 二：计算题
1. 解：记 A: 取得正品硬币； B：投掷 r 次，每次都得到国徽；
取 { A, A} 作为样本空间的划分 . 2. 解：某一次在窗口等待时间超过
10 分钟的概率记为
P ，
注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试验得不到服务的概率为
e 2 .
所以 Y ~ B(5, e 2 ) ，即 3. 解：
2
(1)
f X ( x) f ( x, y)dy
a / 2 |x|
1/ a dy
a / 2 | x|
2
a 2 (a / 2 | x |) | x | a / 2
0
其它
由对称性 (2) 当 | y | a /
2 时，有
4. 解：记取出的四只电子管寿命分别为 5. 解：记圆盘面积为 S ，圆盘直径为
X1,X2,X3, X4 ，所求概率为
R，则 S
P ，则
(1/ 4) R2 ，
由随机变量函数的数学期望的计算方法有 三：解：
（ 1） 矩法估计量 令
E(X) ( E( X 2 )
) X )
(
2
2
A
2
解之得
,
的矩法估计量 :
（ 2） 极大似然估计
ln L
n
>0, 故 ln L 是
的递增函数，故
? min{ x1 ,L xn }
由
ln L
0 得 ? x min{ x1 ,L , xn} ，
? min{
所以极大似然估计量为
, } ， X1 L X n
?
X min{ X1 ,L , Xn }
四：证明：
??
由方差的计算公式有：2
?
E( ?2
)
E[( ) ] D( )
[E( )]2 ，
再由 ?是 的无偏估计可得：
易见当 D(
?
) 0时，
?2
( ?)2 不是
2
的无偏估计 .
五：构造检验统计量 S12，
F
2
S2
当 H 0为真时， F
S12
~ F (n1 1,n2 1),
S2
当
2
2
2
2
H 0不真而 H1 为真时，由 F
S1 1
2
S2
1 / 1 2
. 2
，即一个 F (n1
1,n2 1)
S2 S2 / 2
2
S的数， F12
有偏小的趋势 .所以当 F S12
偏小时我们拒绝
0 而接受 H1 ，拒绝域的形式
2
2
H
S2 S2
是 S12
: F
K .
S22
由H0为真时 F
S12 ~ F (n 1,n 1)确定常数 K ，得拒绝域为：
F S12
1
2
S22
S22
的统计量乘以一个小于1
F
(n
1,n 1).
1 1 2
概率论与数理统计试题及答案.docx
