第二章 随机变量及其分布章末跟踪测评
(时间：120分钟 满分：150分)
题号 得分 一 二 三 17 18 19 20 21 22 总分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．袋中有2个黑球，6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A．取到球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
B 解析 随机变量是随着试验的结果变化而变化的变量，只有B项符合条件． 2．甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是( )
A．0.06 C．0.56
B．0.24 D．0.94
A 解析 设“甲气象台预报准确”为事件A，“乙气象台预报准确”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，且A，B相互独立，则在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率为P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)×(1－0.7)＝0.06.
3．某一随机变量ξ的概率分布如表所示，且m＋2n＝1.2，则m－的值为( )
2
nξ P A．－0.2 C．0.1
0 0.1 1 2 3 0.1 m n B．0.2 D．－0.1
B 解析 由m＋n＋0.2＝1，m＋2n＝1.2，可得m＝n＝0.4，所以m－＝0.2.
21
4．已知离散型随机变量X等可能取值1,2,3，…，n.若P(1≤X≤3)＝，则n的值为( )
5A．3 C．10
B．5 D．15
nD 解析 因为X等可能取值1,2,3，…，n，所以P(1≤X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X 1
11131
＝3)＝＋＋＝＝，所以n＝15.
nnnn5
?1?5．已知随机变量X～B?6，?，则D(2X＋1)＝( ) ?2?
A．6 C．3
B．4 D．9
1?1?32
A 解析 因为D(2X＋1)＝D(X)×2＝4D(X)，D(X)＝6××?1－?＝，所以D(2X＋1)
2?2?23
＝4×＝6.
2
2
6．在每次比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率都是，那么在五次比赛中，运动员
3
A恰有三次获胜的概率是( )
40A． 243110C． 243
80B． 24320D． 243
?2?2803?2?3
B 解析 P＝C5??×?1－?＝.故选B项．
?3??3?243
7．如果随机变量ξ表示抛掷一颗质地均匀的骰子向上面所得的数字，那么随机变量
ξ的均值为( )
A．2.5 C．3.5
B．3 D．4
11
C 解析 因为P(ξ＝k)＝(k＝1,2，…，6)，所以E(ξ)＝×(1＋2＋…＋6)＝3.5.
66故选C项．
8．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝( )
1
A． 31C． 6
5B． 181D． 4
A 解析 出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点的共有5×2＝10种，所以P(B|A)＝
n?AB?1
＝. n?A?3
9．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为( )
2
A．0.9 C．0.5
B．0.7 D．0.2
C 解析 设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，且A与B相互独立，则事件“恰有一人击中敌机”的概率为P(AB＋AB)＝P(A)·[1－P(B)]＋[1－P(A)]·P(B)＝0.5.故选C项．
10．设随机变量ξ服从正态分布N(3，σ)，若P(ξ＞m)＝a，则P(ξ＞6－m)＝( ) A．a C．2a D 解析 因为
B．1－2a D．1－a
?6－m?＋m＝3＝μ，由正态密度曲线的对称性可知P(ξ＞6－m)＝1－2
2
P(ξ＞m)＝1－a.
11．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果正确与否相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于( )
A．0.102 4 C．0.256
B．0.128 D．0.358 4
B 解析 记“该选手第i个问题回答正确”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，且P(Ai)＝0.8.选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则该选手第二个问题必回答错误，第三、第四个问题必回答正确，所以所求事件的概率P＝P(A2A3A4)＝P(A2)·P(A3)·P(A4)＝(1－0.8)×0.8×0.8＝0.128.
12．设随机变量η服从正态分布N(1，σ)，若P(η＜－1)＝0.2，则函数f(x)＝x＋2x＋η没有零点的概率是( )
A．0.2 C．0.7
2
2
2
2
2
B．0.3 D．0.8
2
C 解析 函数f(x)＝x＋2x＋η无零点，所以Δ＝4－4η<0，所以η<－1或η>1.因为随机变量η服从正态分布N(1，σ)，P(η＜－1)＝0.2，所以P(η<－1或η>1)＝0.2＋0.5＝0.7.故选C项．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．离散型随机变量X～N(0,1)，则P(X≤0)＝__________，P(－2＜X＜2)＝________. 1
解析 因为正态曲线的对称轴为直线x＝0，所以P(X≤0)＝P(X＞0)＝，P(－2＜X＜2)
2＝P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4.
2
3
1
答案 0.954 4
2
14．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
解析 由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即X～B(100,0.02)，由二项分布的方差公式可得D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.
答案 1.96
15．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果从中任取2道题，事件A为“取到的2道题中至少有一道理科题”，事件B为“取到的2道题中一题为理科题，另一题为文科题”，则P(B|A)＝________.
3 5C－C9CC3P?AB?
解析 由题意得P(A)＝2＝，P(AB)＝P(B)＝＝，所以P(B|A)＝＝
C510C5P?A?9
10
25
22
113225
2＝. 3
2答案
3
16．园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域．要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花，相邻区域须用不同颜色的鲜花．设花圃中布置红色鲜花的区域数量为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.
解析 随机变量ξ的取值分别为0,1,2，则当ξ＝0时，用黄、蓝、白三种颜色来涂色，若左右为同色时，共有3×2×1＝6种，即ξ＝0所包含的基本事件有6种；ξ＝2时，左右为红色，共有3×2＝6种，即ξ＝2包含的基本事件有6种．另外，用四种颜色布置花61611坛有方法4×3×2×2＝48种，所以P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝1)＝1－
488488813131
－＝.所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1. 84848
答案 1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 4
17．(本小题满分10分)根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是，既刮
15
4
7
东风又下雨的概率是.问该地四月份刮东风与下雨的关系是否密切？
30
解析 该地四月份刮东风与下雨的关系是否密切，可以用在“某地四月份刮东风”的条件下，“某地四月份下雨”的概率的大小来说明．
4记“某地四月份刮东风”为事件A，“某地四月份下雨”为事件B，则P(A)＝，P(AB)
157P?AB?7＝，所以P(B|A)＝＝. 30P?A?8
可以说该地四月份刮东风与下雨的关系比较密切．
18．(本小题满分12分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若2
赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获
31
胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
3
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．
解析 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．
21
则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.
33(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)·P(A4)
?2?21?2?221?2?256
＝??＋×??＋××??＝. ?3?3?3?33?3?81
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)
5
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，
9
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
2
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，
9
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)
10
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，
81
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
故X的分布列为
881
5
2019_2020学年高中数学第2章随机变量及其分布章末跟踪测评新人教A版选修2_3
