武昌区2020届高三年级元月调研考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知集合A?{x|x2?x?2?0} ，B?{x|a?2?x?a}，若A?B?{x|?1?x?0}，则A?B? A．(?1,2) B. (0,2) C．(?2,1) D．(?2,2) 2．已知复数z满足
z?i，则z在复平面内对应的点位于 z?i A．第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1?1，a3?2a2?3，则an? A．3n?2 B. 3n?1 C．2n?1 D．2n?2 4．已知a?log0.10.2，b?log1.10.2，c?1.10.2，则a，b，c的大小关系为 A．a?b?c B．a?c?b C．c?b?a D．c?a?b 5．等腰直角三角形ABC中，?ACB?那么CP?CA?CP?CB?
A．?4 B. ?2 C．2 D．4
6．某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概
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π，AC?BC?2，点P是斜边AB上一点，且BP?2PA，2率是
3348 B. C． D． 643227271317．已知数列{an}的前n项和Sn?n2?n，设bn?，Tn为数列{bn}的前n项和.若对任意的
anan?122A．
n?N?，不等式?Tn?9n?3恒成立，则实数?的取值范围为
A．(??,48) B. (??,36) C．(??,16) D．(16,??)
8．已知过抛物线y2?4x焦点F的直线与抛物线交于点A，B，|AF|?2|FB|，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM?l于点M，则四边形AMCF的面积为 A．
5252 B. C．52 D．102 429．如图，已知平行四边形ABCD中，?BAD?60?，AB?2AD，E为边AB的中点，将?ADE沿直线DE翻折成?A1DE.若M为线段A1C的中点，则在?ADE翻折过程中，给出以下命题： ①线段BM的长是定值； ②存在某个位置，使DE?A1C； ③存在某个位置，使MB//平面A1DE. 其中，正确的命题是
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
10．函数f(x)?Asin(?x??)（A?0，??0，0???①函数f(x)的最小正周期为π； ②直线x??③点(?5π为函数f(x)的一条对称轴； 12π）的部分图象如图所示，给出下列说法： 2A1
M D C
A E B
2π,0)为函数f(x)的一个对称中心； 3π个单位后得 3④函数f(x)的图象向右平移到y?2sin2x的图象. 其中正确说法的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
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x2y211．已知F1，F2分别为双曲线??1的左、右焦点，过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右
94r支交于A，B两点，记?AF1F2的内切圆半径为r1，?BF1F2的内切圆半径为r2，则1的值等于
r2A．3 B．2 C．3 D．2
12．已知函数f(x)?xex?lnx?x?2，g(x)?
ex?2x?lnx?x的最小值分别为a，b，则
A．a?b B．a?b C．a?b D．a，b的大小关系不确定
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．(2x?1x)6的展开式中，x3项的系数是______.
14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，x，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x所有可能的取值为______.
15．过动点M作圆C：(x?2)2?(y?2)2?1的切线，N为切点.若|MN|?|MO|(O为坐标原点)，则
|MN|的最小值为______.
16．用MI表示函数y?sinx在闭区间I上的最大值，若正数a满足M[0,a]?2M[a,2a]，则a的值
为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（本题12分）
在?ABC中，已知AB?（1）求B；
（2）求?ABC的面积.
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56，AC?7，D是BC边上的一点，AD?5，DC?3. 2
18．（本题12分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?AB，A1A?AB?AC?2，D，E，F分别为AB，BC，B1B的中点.
A1
C1 A D C E B1 F
（1）证明：平面A1C1F?平面B1DE； （2）求二面角B?B1E?D的正弦值.
19．（本题12分）
B
x2y2已知椭圆E：2?2?1(a?b?0)的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦
ab点到椭圆上的点的最短距离为1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若不过原点的直线l与椭圆交于A，B两点，求?OAB面积的最大值.
20．（本题12分）
某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：[0，200)，[200，400)，[400，600)，…，[1000，1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
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0 200 400 600 800 1000 1200 金额（单位：元） 频率 组距 0.00125 0.00100 0.00075 0.00050 （2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？
男 女 总计 健身达人 10 非健身达人 30 总计 （3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．
附：
1，且每次抽奖互不影响，中奖1次2P（K2?k） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 22.072 2.706 3.841 6.635 7.879 n(ad?bc)2K?.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
21．（本题12分）
已知函数f(x)?ex?x?e?1.
（1）若f(x)?ax?e对x?R恒成立，求实数a的值；
（2）若存在不相等的实数x1，x2，满足f(x1)?f(x2)?0，证明：x1?x2?2.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）
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湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试 数学(理)(含答案)
