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数学奥林匹克分类问题印度,分为数论、组合、几何、代数、杂题

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人所戴帽子的颜色。

提示:用反证法,求证:E必戴黑帽。

76. 设f是从A={1, 2, .... , n}到自身的一个双射函数(1-1的和到上的)。求证:有一个正整

数m>1,使得对A内每个k,f[m](k)=f(k),这里f[m](k)=f( f(..... f( f(k) )....) )共有m个f。

[i][j]

提示:先求证:必存在正整数i与j,i>j,使得对A内每个k,有f(k)=f(k)。 77. 求证:平面内存在一个凸六边形,使得

1. 所有内角都相等;

2. 在某重顺序下,边长分别为1、2、3、4、5、6。

提示:取A为坐标原点,B坐标为(1,0)。C坐标为(2, √3)等,具体写出满足条件的凸六边形的各顶点坐标。

70. 有10件物体,总重20千克。每件物体重量为一个正整数,没有一件物体超过10千

克重。求证:这10件物体能分成两堆,每堆重10千克。

提示:用a1、a2、....、a10分别表示这10件对象重量,且满足a1+a2+....+a10=20。令Sk=a1+a2+....+ak,这里k=1, 2, ...., 9。考虑11个数0, S1,S2,....,S9,a1-a10除以10的余数。 71.

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