数学奥林匹克分类问题印度，分为数论、组合、几何、代数、杂题

人所戴帽子的颜色。

提示：用反证法，求证：E必戴黑帽。

76. 设f是从A={1, 2, .... , n}到自身的一个双射函数(1-1的和到上的)。求证：有一个正整

数m>1，使得对A内每个k，f[m](k)=f(k)，这里f[m](k)=f( f(..... f( f(k) )....) )共有m个f。

[i][j]

提示：先求证：必存在正整数i与j，i>j，使得对A内每个k，有f(k)=f(k)。 77. 求证：平面内存在一个凸六边形，使得

1. 所有内角都相等；

2. 在某重顺序下，边长分别为1、2、3、4、5、6。

提示：取A为坐标原点，B坐标为(1,0)。C坐标为(2, √3)等，具体写出满足条件的凸六边形的各顶点坐标。

70. 有10件物体，总重20千克。每件物体重量为一个正整数，没有一件物体超过10千

克重。求证：这10件物体能分成两堆，每堆重10千克。

提示：用a1、a2、....、a10分别表示这10件对象重量，且满足a1+a2+....+a10=20。令Sk=a1+a2+....+ak，这里k=1, 2, ...., 9。考虑11个数0， S1，S2，....，S9，a1-a10除以10的余数。 71.