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E y C Q A O1 F x
O O2 B 图6 求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.
在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1、分析：⑴设l与正方形的边AD、CD相交于M、N，易证Rt△DMN是等腰三角形，只有当MD=2时，△DMN的面积是1，求得t?4?2. 容易验证，此时的S=3.
∴当t?4?2时，S=3. ⑵当0?t?2时，S?
当2?t?4时，S??12t； 21(t?4)2?4； 2当?4时，S?4.
根据以上解析式，作图如下（图7）
图7
2、(1)在Rt△ABC中，OC⊥AB， ∴△AOC≌△COB. ∴OC2=OA·OB.
∵OA∶OB=3∶1,C(0,3), 2OB. ∴(3)?3OB·OB∴OB=1.∴OA=3.
∴A(-3,0),B(1,0).
设抛物线的解析式为y?ax?bx?c.
2?9a?3b?c?0,?则?a?b?c?0, ??c?3.学习必备 欢迎下载
?3a??,?3?2?3, 解之，得?b??3??c?3.??∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y??322x?3x?3. x3(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.
证明：连结O1E、OE、OF. ∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°, ∴四边形EOFC为矩形. ∴QE=QO. ∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4,∠2+∠4=90°， ∴EF与⊙O1相切. 同理：EF理⊙O2相切.
(3)如图8，作MP⊥OA于P，设MN=a,由题意可得MP=MN=a.
y E M 3 1 2 4 N C Q F x
A O1 P O O2 B 图8 ∵MN∥OA,
∴△CMN∽△CAO.
MNCN?.∴AOCO a3?a∴?. 33解之，得a?33?3. 233?3. 2此时，四边形OPMN是正方形. ∴MN?OP?∴P(?33?3,0). 2考虑到四边形PMNO此时为正方形，
∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形. 故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形， 且P(?33?3,0)或P(0,0). 2
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