第3讲平面向量的数量积 ★ 知 识 梳理 ★
1．两个非零向量夹角的概念
??????已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角. ??特别提醒：向量a与向量b要同起点。
????2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量 叫a与b的????数量积，记作a?b，即有a?b = 特别提醒：
（1） （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0 ?（2） 两个向量的数量积的性质：
????设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ??????????????????1) e?a = a?e = a?b ? a?b = 当a与b同向时，|a||b|；当a与b反向时，a?b = a?b
??= ?|a||b| 特别的a?a = |a|或|a|????2???a?a
??a?b2) cos? =?? ；
|a||b|????3) |a?b| ≤ |a||b|
3．“投影”的概念：如图
定义： _____|b|cos?_______叫做向量b在a方向上的投影
特别提醒：
投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b| 4． 平面向量数量积的运算律
????交换律： a ? b = b ? a ??????数乘结合律： (?a)?b =?(a?b) = a?(?b) ???????分配律： (a + b)?c = a?c + b?c 5．平面两向量数量积的坐标表示
????已知两个非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，
rrrvv??r那么a?x1i?y1j， b?x2i?y2j 所以a?b? x1x2?y1y2
6.平面内两点间的距离公式
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)， 那么：|a|???(x1?x2)2?(y1?y2)2
????7.向量垂直的判定：设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b ? 8.两向量夹角的余弦
??a?b（0????） cos? = ?=
|a|?|b|
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：平面向量数量积的运算 题型1. 求数量积、求模、求夹角
rrrrrrr，b?2，且a?b与a垂直，求a与b的夹角。[例1] 已知a?1
题型2。利用数量积解决垂直问题
[例2] 在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k ★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1. （广东省惠州市2009届高三第二次调研考试）
rrrr设平面向量a??3,5?,b???2,1?，则a?2b?（ ）
A．?6,3? B．?7,3?
C．?2,1?
D． ?7,2?
2. （广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理））
uuurruuurruuuruuuruuur在△ABC中，AB?c，AC?b．若点D满足BD?2DC，则AD?( )
2r1r5r2r2r1r1r2rA．b?c B．c?b C．b?c D．b?c
333333333．已知a=（1，2），b=（－3，2），当ka+b与a－3b平行，k为何值（ ）
A
1111 B － C － D
33444．（2009年广东省广州市高三年级调研测试数 学（理 科））
如图，在△ABC中，已知AB?2，BC?3，?ABC?60?，AH?BC于H，M为AH的中点，若
A uuuuruuuruuurAM??AB??BC，则???? .
5．（广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理））
rrrr，3cos?)，则a?b的最大值为 ，sin?)，b?(1已知向量a?(16. 2009年广东省广州市高三调研测试数 学（理 科）
B ?M ． H
C 已知向量a =（x，1），b =（3，6），a?b ，则实数x的值为 A．
11 B．?2 C．2 D．? 227.（广东省深圳市2009 届高三九校联）
已知a?b??122，a?4，a和b的夹角为135?，则b为 （ ） A．12
B．3
C．6
D．33
8．广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 (数学理)
uuuruuuruuurruuuruuuruuuruuurOB?OBgOC.则△ABC一定是（ ） △ABC内有一点O,满足OA?OB?OC?0,且OAg A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形
9．广东省恩城中学2009届高三模拟考试（数学理）
urrurrm?(b?c,c?a),n?(b,c?a)在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量，若m?n,
则角A的大小为（ ） A.
???2? B. C. D. 632310．设非零向量a=?x,2x?，b=??3x,2?，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围
11．已知a?(?,2?)，b?(3?,2),如果a与b的夹角为锐角,则?的取值范围是
????
平面向量知识点与考点精讲(经典)
