初中数学竞赛辅导资料
逆推法
甲内容提要
1. 如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理，那么与习惯方法相反的逆向推理方法，就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言，没有绝对的界限.
2. 逆向推理包括了公式、法则、定义 、定理的逆向应用. 例如：
① 乘法公式的逆向应用之一，就是因式分解. 还有其他变形的应用，如：
(x+y)2=x2+xy+y2，以x, y的基本对称式，表示x, y的平方和、立方和(差)： x2+y2=(x+y)2－2xy ， x3+y3=(x+y)3－3xy(x+y).
② 分数的加减法则的逆向应用，可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差)：
1=
111ab??， . ?n(n?1)nn?1a?ba?b③ “互为相反数相加得零”的逆向应用：0=a+(－a).
在因式分解中折项，添项，配方都用到它，在证明恒等式或化简、计算中也常用它. ④ 公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如：
?a(a?0)的逆向应用是： a?a???a(a?0)?2当a≥0时，a=a2；当a<0 时,a= －a2； 如 x ⑤ 因为定义可以反叙，所以定义既是判定又是性质. 例如： 对应边成比例?相似多边形的定义： ??相似多边形. 对应角相等?方程解的定义：若m 是方程ax2+bx+c=0的解，则 am2+bm+c=0； 反过来，若an2+bn+c=0,则n是方程ax2+bx+c=0的解. ⑥ 对于定理的逆用，当然要先判断定理的逆命题为真. 一个定理的题设和结论不只一项时，交换题设和结论中的一项，就组成一个逆命题，故逆命题有多个，有真，有假. 一般地，若题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理； 对于分段式的定理也有逆定理. 3. 解答数学题通常是：在顺向推理有困难时用反向推理；在正面探求有困难时用反面探求；直接解答有困难时用简接解答.顺、逆两种方法都能熟练掌握，灵活应用，那么解题能力就能较大地提高. 乙例题 例1解方程(a2－ 121122－a2=0 . (a2－?c))?0). x+(x+c222bbb分析：由观察法，可得到一个根为1 (∵方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解： ∵方程a2－ 112?c)+ c2－a2=0 ， 有一个实数根是1 . +(22bb∴可设另一根为x2， 根据韦达定理 c?a2b2(c2?a2)得 1×x2==. 221ab?1a2?2b2b2(c2?a2) 解得 x2=. a2b2?1b2(c2?a2)∴原方程的解是 x1=1, x2=. 22ab?1例2. 化简3-5-3?5. 解：∵3-5-3?5<0， ∴3-5-3?5=－(3-5-3?5) =－3-5?3?5-2(3-5)(3?5) ＝－2. 例3. 已知：a?1，b?1 . 求证：a?b?1?ab. 分析：本题直接证明有困难，不论是从左到右或从右到左，都难以完成，估计是要从某一个已知不等式出发.试用逆推法，从结论倒推出应有的不等式. 由a?b?1?ab 两边平方，得a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2. a2+b2－a2b2－1<0, 分解因式：（1－b2）(a2－1)<0, 由已知可推出这不等式. 证明： ∵a?1，b?1， ∴a2＜1，b2＜1， ∴a2－1＜0，1－b2＞0. （a2－1）（1－b2）＜0, a2+b2－a2b2－1<0, ∴a2+b2＋2ab<1+a2b2+2ab ∴(a+b)2<(1+ab)2 . ∴ a?b?1?ab. 2 例4. 已知：四边形ABCD中，AB＋BD＜AC＋CD. A求证：AB＜AC. 分析：直接推导，应证明 BD＝CD或BD＞CD. DB即证明∠BCD≥∠1，有困难，不妨用反证法. 1这也是一种逆推法，从反面推导. 证明：设AB不小于AC，即AB≥AC， 2∴∠2≥∠ABC. C ∵∠BCD＞∠2， ∠ABC＞∠1. ∴∠BCD＞∠1. ∴BD＞CD. ∴AB＋BD＞AC＋CD，这和已知条件相矛盾，故假设不能成立. ∴AB＜AC. 例5. 有100个人排成一列，自1往下报数，报奇数的人，走出队列，留下的人按原顺序 重新报数，报奇数的又走出队列，这样继续下去，最后留下一人，问这人第一次报数是多少？ 解：从第1，2，3……次往下推，可知人数分别是100，50，25，12，6，3人，要确定留下的人，依次是报几号，最好是用逆推法，由最后一次，在3人中的报号必定是2；上一次，在6人中的报号必定是报4；再上一次在12人中，必是报8. 其规律是：21，22，23，…，2 n. 所以，第一次报数应是小于100的2的最高次幂， ∵26<100<27， ∴这人第一次报数是2 6即64. 例6. 计算：3×5×17×257×……×(22?1). 分析：本题直接计算有困难，可由通式22nn?1，用确定n的自然数值，回还原数3， a2?b25，17，257，…再逆用平方差公式a+b=, 就可很快得出结果 . a?b（2＋1）解：原式= (22?1)(22?1)(28+1)…(22?1) 2012n 22?124?128?1216?122?2?1?2???=. 2n2?12?124?128?12?1=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)……(22?1) =22n?1nn?1 丙练习57 1. 已知：a,b,c,d 都是实数 . 求证： (a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd). 2. 已知：a,b,c 是△ABC的三边长. 求证： (ab+bc+ca)<(a+b+c)<4(ab+bc+ca). －－－ 3. 已知： a2+a1－1=0, b4+b2－1=0, ab2≠1. 求：a1+b2的值. 4. 已知： (x+y)(y+z)(z+x)=0,xyz≠0. 求证： 1111???. xyzx?y?z4xk?k21?1??5. 已知：方程不会增根. 求：实数k取值范围. x?2x?24?x26. 已知：a, b, c 是互不相等的实数. 求证： b?cc?aa?b222????? (a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)a?bb?cc?a. 27. 已知：x=(a+a?1)化简：( x1m1n2mnm?n(mn≠0,m≠n,a>1). 11?mn?x)2－4a2x 8. 小王卖馒头，第一次卖去一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩 下的一半又半个，这时，还剩有馒头一个，问小王共拿几个馒头来卖？ 9. 三个容器内都有水，如果把甲容器内的水的 倒入丙容器，最后把丙容器内现有的水的 11倒入乙容器，再把这时乙容器内的水的341倒入甲容器，则各容器内的水都是9升，10问原有各容器内的水各是几升？ 10. 求证： 不论a 取什么值，如下方程都有实数解. (1+a)x4+x3－(3a+2)x2－4a=0. 11. 要使下列三个方程中至少有一个方程有实数根，m的取值应是什么？ 2x2－2x+m=0, x2 +2mx+m－m+=0, (m+1)x2－2mx+m+2=0. 12. 90张卡片，每张都写上一个非负整数，这90个数字的和不超过1979求证90张卡片中 至少有3张数字相同. 13. 已知：△ABC中边BC被点D和点E三等分，求证：AD，AE不能三等分∠BAC. 14. 已知：不等式x2+ax+b<0 的解集是2 55599??????______. 10?1111?1212?131002)x?(3?2)x?10，则x=____. 16. 已知：(3?17.计算 14＋65－14－65的值是（ ） （A）1. （B）5. （C）25. （D）52. (2000年全国初中数学联赛题) 习57 1，2两题都可以用求差法证明，也可用反证法. 3.由已知a-1,b2是方程 x2+x-1=0相异的两根 4.由已知x,y,z至少有两个是互为相反数 5. k=-1,2 6. b?c11可由逆推而出 7. 0 8. 15 个 ?(a?b)(a?c)a?ba?c9.甲12，乙8，丙7. 10.先化为关于a的方程，（x4-3x2-4）a=2x2-x3-x4，0a=0时,a有一切实数解… 11.用反推法，若三个方程都没有实数根，解不等式组得m的值是∴当m?1?m?1， 21或m ≥1时，三个方程中至少有一个方程有实数根. 210. 反推若只有两张相同，则（0＋1＋2＋…＋44）×2＝1980＞1979，所以要把1张调换 小于44的非负整数，于是…… 11. 用反证法，设∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则 BDAB＝＝1， DEAE即AD⊥BE，同理AE⊥DC，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，…… 12. a=-5, b=6. 15. 9. 16. x=2, x=－2. 17.（C）. 40
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