梦想不会辜负每一个努力的人 课时跟踪训练15：二次函数概念及其解析式
A组 基础达标
一、选择题
1．下列函数中，是二次函数的是 A．y＝8x2＋1 8
C．y＝x
( A )
B．y＝8x＋1 8
D．y＝x2
( C )
2. 若函数y＝(m2＋m)xm2－2m－1是二次函数，那么m的值是 A．2 C．3
B．－1或3 D．－1±2
3. 当a＜0时，抛物线y＝x2＋2ax＋1＋2a2的顶点一定位于 A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
( A )
4．无论m为何实数，二次函数y＝x2－(2－m)x＋m的图象总是过定点 ( A ) A．(1，3)
B．(1，0) D．(－1，0)
C．(－1，3)
解析：由y＝x2－(2－m)x＋m得：y＝x2－2x＋mx＋m，要使y＝x2－(2－m)x＋m的图象总是过定点，则：mx＋m无论m为何实数都为定值，所以m(x＋1)＝0，所以x＝－1，代入y＝x2－2x＋mx＋m得y＝1＋2＋0＝3，所以x＝－1，y＝3 得该点的坐标为(1，3)． 二、填空题
5．已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式__y＝x2－1__．
6．抛物线y＝x2＋2x＋c与x轴的一个交点为(1，0)，则这个抛物线的顶点坐标是__(－1，－4)__．
7．(2012·无锡)若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为__y＝－x2＋4x－3__．
8．(2011·萧山三模)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋4相交于A(1，M)，
1
梦想不会辜负每一个努力的人 B(4，8)两点，与x轴交于原点O及点C，在x轴上方的抛物线上存在点D，1
使得S△OCD＝2S△OCB，则满足要求的点D坐标为__(3＋5，4)或(35，4)__． 解析：抛物线 y＝－(x－6)x，所以C(6，0)，所以OC＝6，设D(x0，y0)，(x0>0，8y01
y0>0)S△OCB＝6×2＝24，S△OCD＝6×2＝2S△OCB＝12，所以y0＝4.因为D在抛物线上，所以将D(x0，4)代入抛物线，得－x02＋6x0＝4，解得x0＝3＋5或 3－5所以存在D(3＋5，4)或D(3－5，4)，使得条件成立． 三、解答题
9．已知四点A(1，2)，B(0，6)，C(－2，20)，D(－1，12)，试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由．
解：设所求二次函数是y＝ax2＋bx＋c，
∵经过四点A(1，2)，B(3，0)，C(－2，20)，D(－1，12)，
?9a＋3b＋c＝0，?a＝1，∴? 解得?b＝－5，
4a－2b＋c＝20，
?c＝6.
?a－b＋c＝12，
故所求的二次函数是y＝x2－5x＋6.
10．(2013·佛山)如图15－1图①所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．
a＋b＋c＝2，
图15－1
(1)求抛物线的函数表达式； 答案：y＝x2－4x＋3.
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
答案：抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2.
2
梦想不会辜负每一个努力的人 (3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．
解：如图15－2所示，∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴PP′＝1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积＝1×2＝2，∴阴影部分的面积＝2.
图15－2
B组 能力提升
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11．与抛物线y＝－5x－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是
( B )
4
A．y＝－5x2 4
C．y＝－5x2＋1
4
B．y＝5x2－1 4
D．y＝5x2＋1
12．若二次函数y＝(m＋1)x2＋m2－2m－3的图象经过原点，则m的值必为( C ) A．－1或3 C．3
B．－1 D．无法确定
13．(2010·贵港)阅读下列材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如，由抛物线y＝x2－2ax＋a2＋a－3，得到y＝(x－a)2＋a－3，抛物线的顶点坐标为(a，a－3)，即无论a取任何实数，该抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y＝x－3.请根据以上的方法，确定抛物线y＝x2＋4bx＋b顶点的纵坐标y和横坐标1x都满足的关系式为__y＝－4x－2x__．
2
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象同时满足下列条件：①不经过第二象限；②与坐标轴有且仅有两个交点．这样的二次函数解析式可以是__y＝－x2＋2x－1__．
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梦想不会辜负每一个努力的人
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15．如图15－3所示，已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．
图15－3
(1)求这个二次函数的解析式； 1
答案：y＝－2x2＋4x－6
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． b
解：∵对称轴x＝－2a＝4，
∴C点的坐标是(4，0)， ∴AC＝2，OB＝6，
11
∴S△ABC＝2AC·OB＝2×2×6＝6.
16．(2013·福州)我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y＝ax2＋bx(a≠0)． (1)对于这样的抛物线：当顶点坐标为(1，1)时，a＝__－1__；当顶点坐标为(m，1m)，m≠0时，a与m之间的关系式是__a＝－m或am＋1＝0__；
(2)继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx(k≠0)上，请用含k的代数式表示b； 答案：b＝2k.
(3)现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y＝x上，横坐标依次为1，2，…，n(为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长． 解：∵顶点A1，A2，…，An在直线y＝x上，
∴可设An(n，n)，点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t，t)．
4
由(1)(2)可得，点Dn所在的抛物线解析式为： y＝－1
tx2＋2x.
∵四边形AnBnCnDn是正方形， ∴点Dn的坐标是(2n，n)， ∴－1
t(2n)2＋2·2n＝n， ∴4n＝3t.
∵t、n是正整数，且t≤12，n≤12， ∴n＝3，6或9.
∴满足条件的正方形边长是3，6或9.
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（中考复习）第15讲 二次函数概念及其解析式 - 1
